गणित भाग 2 (भूमिती) Mathematics Part 2 (Geometry)

थोडक्यात सारांश

बिंदू, रेषा व प्रतल या भूमितीतील मूलभूत संबोधांची ओळख, संख्यारेषेवरील बिंदूंचे निर्देशक, दोन बिंदूंमधील अंतर, दरम्यानता, रेषाखंडांची एकरूपता, सशर्त विधाने व व्यत्यास आणि भूमितीतील सिद्धता कशी लिहायची, हे या प्रकरणात शिकतो.

महत्त्वाचे मुद्दे

• बिंदू, रेषा व प्रतल हे मूलभूत संबोध आहेत. बिंदूला लांबी-रुंदी नसते; रेषा दोन्ही दिशांना अमर्याद पसरलेली असते; प्रतल हा अमर्याद पसरलेला सपाट पृष्ठभाग आहे.
• एकाच रेषेवरील बिंदू एकरेषीय असतात; एकाच प्रतलातील रेषा एकप्रतलीय असतात.
• संख्यारेषेवर बिंदू जी संख्या दर्शवतो ती त्या बिंदूचा निर्देशक.
• a व b निर्देशक असलेल्या दोन बिंदूंमधील अंतर: a > b असेल तर अंतर = a − b. अंतर कधीही ऋण नसते; ते d(A, B) किंवा AB असे लिहितात. d(A, B) = d(B, A).
• दरम्यानता: P, Q, R हे भिन्न एकरेषीय बिंदू असून d(P, Q) + d(Q, R) = d(P, R) असेल तर Q हा P व R यांच्या दरम्यान आहे; P – Q – R असे लिहितात.
• तीन भिन्न एकरेषीय बिंदूंपैकी एक व फक्त एकच बिंदू इतर दोघांच्या दरम्यान असतो.
• समान लांबीचे रेषाखंड एकरूप असतात. रेषाखंडांच्या एकरूपतेचे गुणधर्म: परावर्तनता, सममितता व संक्रामकता.
• सशर्त विधान: "जर p तर q". 'जर' ने सुरू होणारा भाग पूर्वांग व 'तर' ने सुरू होणारा भाग उत्तरांग. उदा. जर चौकोन समभुज चौकोन असेल तर त्याचे कर्ण परस्परांचे लंबदुभाजक असतात.
• व्यत्यास: पूर्वांग व उत्तरांग यांची अदलाबदल केलेले विधान. सत्य विधानाचा व्यत्यास सत्य असेलच असे नाही.
• स्वयंसिद्ध, सर्वमान्य विधाने म्हणजे गृहीतके; तर्काने सिद्ध केलेले गुणधर्म म्हणजे प्रमेये. सिद्धता प्रत्यक्ष (दिलेल्या माहितीपासून पायरीपायरीने) किंवा अप्रत्यक्ष (उलट गृहीत धरून विसंगती दाखवणे) असते.
• प्रमेयाच्या सिद्धतेची मांडणी: पक्ष (दिलेले), साध्य (सिद्ध करायचे), आकृती, सिद्धता व प्रत्येक पायरीचे कारण.

महत्त्वाच्या संज्ञा

• निर्देशक – संख्यारेषेवरील बिंदूशी संबंधित संख्या.
• एकरेषीय बिंदू – एकाच रेषेवर असलेले बिंदू.
• रेषाखंड – दोन बिंदू व त्यांच्या दरम्यानचे रेषेवरील सर्व बिंदू; रेख AB.
• किरण – एक आरंभबिंदू असलेला रेषेचा भाग; किरण AB.
• मध्यबिंदू – रेख AB वरील असा बिंदू M की AM = MB.

सूत्रे

• d(A, B) = a − b, जेव्हा a > b (a, b हे निर्देशक)
• P – Q – R असेल तर PQ + QR = PR
• a व b निर्देशक असलेल्या बिंदूंच्या मध्यबिंदूचा निर्देशक = (a + b)/2

५ महत्त्वाचे प्रश्न

Q1. A, B, C बिंदूंचे निर्देशक अनुक्रमे −3, 5 व 2 आहेत. d(A, B), d(B, C), d(A, C) काढा. कोणता बिंदू इतर दोघांच्या दरम्यान आहे?

d(A, B) = 5 − (−3) = 8; d(B, C) = 5 − 2 = 3; d(A, C) = 2 − (−3) = 5.
d(A, C) + d(C, B) = 5 + 3 = 8 = d(A, B), म्हणून C हा A व B च्या दरम्यान आहे (A – C – B).

Q2. संख्यारेषेवरील A बिंदूचा निर्देशक 5 आहे. A पासून 13 एकक अंतरावरील बिंदूंचे निर्देशक काढा.

डावीकडे: 5 − 13 = −8; उजवीकडे: 5 + 13 = 18. निर्देशक −8 व 18.

Q3. व्यत्यास लिहा: "जर त्रिकोण समभुज असेल तर त्याचे सर्व कोन एकरूप असतात." व्यत्यास सत्य आहे का?

व्यत्यास: "जर त्रिकोणाचे सर्व कोन एकरूप असतील तर तो त्रिकोण समभुज असतो." हा व्यत्यास सत्य आहे.

Q4. P व Q चे निर्देशक −7 व 3 आहेत. रेख PQ च्या मध्यबिंदूचा निर्देशक काढा.

मध्यबिंदूचा निर्देशक = (−7 + 3)/2 = −4/2 = −2.

Q5. "जर-तर" रूपात लिहा: समांतरभुज चौकोनाचे संमुख कोन एकरूप असतात.

जर चौकोन समांतरभुज चौकोन असेल तर त्याचे संमुख कोन एकरूप असतात.

परीक्षेसाठी टीप

दरम्यानतेच्या प्रश्नात कोणत्या दोन अंतरांची बेरीज तिसऱ्या अंतराएवढी होते ते पाहा; त्या दोन अंतरांतील सामाईक बिंदू मध्ये असतो.

थोडक्यात सारांश

एकाच प्रतलात असूनही एकमेकींना कधीही न छेदणाऱ्या रेषा म्हणजे समांतर रेषा. छेदिकेमुळे होणारे कोन, रेषा समांतर असताना त्या कोनांचे गुणधर्म आणि दोन रेषा समांतर आहेत हे ठरवण्याच्या कसोट्या या प्रकरणात शिकतो.

महत्त्वाचे मुद्दे

• दोन किंवा अधिक रेषांना भिन्न बिंदूंत छेदणारी रेषा म्हणजे छेदिका. दोन रेषा व छेदिका मिळून 8 कोन होतात.
• कोनांच्या जोड्या: संगत कोन (4 जोड्या), व्युत्क्रम कोन (आंतर व्युत्क्रम कोनांच्या 2 व बाह्य व्युत्क्रम कोनांच्या 2 जोड्या), छेदिकेच्या एकाच बाजूचे आंतरकोन (2 जोड्या).
• दोन रेषा एकमेकींना छेदल्यावर होणारे विरुद्ध कोन समान मापाचे असतात; रेषीय जोडीतील कोन परस्परांचे पूरक असतात.
• समांतर रेषांचे गुणधर्म (दोन समांतर रेषांना छेदिका छेदत असताना):
• आंतरकोनांचे प्रमेय: एकाच बाजूचे आंतरकोन पूरक असतात (बेरीज 180°).
• व्युत्क्रम कोन एकरूप असतात.
• संगत कोन एकरूप असतात.
• समांतरतेच्या कसोट्या: छेदिकेने होणाऱ्या कोनांपैकी (1) एकाच बाजूचे आंतरकोन पूरक असतील, किंवा (2) व्युत्क्रम कोनांची एक जोडी एकरूप असेल, किंवा (3) संगत कोनांची एक जोडी एकरूप असेल, तर त्या दोन रेषा समांतर असतात.
• एका प्रतलातील एकाच रेषेला लंब असणाऱ्या दोन रेषा परस्परांना समांतर असतात.
• दोन समांतर रेषांपैकी एकीला लंब असणारी रेषा दुसरीलाही लंब असते.
• उपयोग: त्रिकोणाच्या शिरोबिंदूतून समोरच्या बाजूला समांतर रेषा काढून त्रिकोणाच्या तिन्ही कोनांची बेरीज 180° असते हे सिद्ध करता येते.

महत्त्वाच्या संज्ञा

• समांतर रेषा – एकमेकींना न छेदणाऱ्या एकप्रतलीय रेषा.
• छेदिका – दोन किंवा अधिक रेषांना भिन्न बिंदूंत छेदणारी रेषा.
• संगत कोन – छेदिकेच्या एकाच बाजूचे, एक आंतरकोन व एक बाह्यकोन असलेले कोन.
• व्युत्क्रम कोन – छेदिकेच्या विरुद्ध बाजूंचे, दोन्ही आंतरकोन किंवा दोन्ही बाह्यकोन असलेले कोन.

सूत्रे

• रेषा l ∥ रेषा m असेल तर: संगत कोन एकरूप; व्युत्क्रम कोन एकरूप; एकाच बाजूच्या आंतरकोनांची बेरीज 180°.
• रेषीय जोडी: ∠a + ∠b = 180°.

५ महत्त्वाचे प्रश्न

Q1. रेषा l ∥ रेषा m असून छेदिका रेषा l शी 70° चा कोन करते. संगत कोन, आंतर व्युत्क्रम कोन व एकाच बाजूचा आंतरकोन काढा.

संगत कोन = 70°; आंतर व्युत्क्रम कोन = 70°; एकाच बाजूचा आंतरकोन = 180° − 70° = 110°.

Q2. दोन समांतर रेषांना छेदिका छेदत असेल तर एकाच बाजूचे आंतरकोन पूरक असतात, हे सिद्ध करा.

पक्ष: रेषा l ∥ रेषा m, छेदिका n; ∠1 व ∠2 एकाच बाजूचे आंतरकोन. साध्य: ∠1 + ∠2 = 180°.
सिद्धता: ∠1 + ∠3 = 180° (रेषीय जोडीतील कोन). ∠3 = ∠2 (व्युत्क्रम कोन). म्हणून ∠1 + ∠2 = 180°.

Q3. समांतर रेषांच्या छेदिकेच्या एकाच बाजूचे आंतरकोन (3x + 10)° व (2x + 20)° आहेत. x ची किंमत व कोनांची मापे काढा.

(3x + 10) + (2x + 20) = 180 ⇒ 5x + 30 = 180 ⇒ 5x = 150 ⇒ x = 30.
कोन: 3(30) + 10 = 100° व 2(30) + 20 = 80°.

Q4. एकाच रेषेला लंब असणाऱ्या दोन रेषा समांतर असतात हे सिद्ध करा.

समजा रेषा l ⊥ रेषा n व रेषा m ⊥ रेषा n. छेदिका n मुळे होणारे संगत कोन दोन्ही 90° आहेत, म्हणजे एकरूप आहेत. संगतकोन कसोटीनुसार रेषा l ∥ रेषा m.

Q5. आकृतीत रेषा p व q च्या छेदिकेच्या एकाच बाजूचे आंतरकोन 115° व 65° आहेत. रेषा p व q समांतर आहेत का?

115° + 65° = 180°. आंतरकोन पूरक आहेत, म्हणून आंतरकोन कसोटीनुसार रेषा p ∥ रेषा q.

परीक्षेसाठी टीप

प्रत्येक पायरीपुढे कंसात कारण (व्युत्क्रम कोन, संगत कोन, रेषीय जोडी) लिहा; त्यालाच गुण असतात.

थोडक्यात सारांश

त्रिकोणांचे महत्त्वाचे गुणधर्म या प्रकरणात सिद्ध केले आहेत: दूरस्थ आंतरकोनांचे प्रमेय, त्रिकोणांच्या एकरूपतेच्या कसोट्या, समद्विभुज त्रिकोणाचे प्रमेय, 30°–60°–90° व 45°–45°–90° त्रिकोणांचे गुणधर्म, मध्यगा, लंबदुभाजक व कोनदुभाजकाची प्रमेये, त्रिकोणातील असमानता आणि समरूप त्रिकोणांची ओळख.

महत्त्वाचे मुद्दे

• त्रिकोणाच्या तिन्ही कोनांची बेरीज 180° असते.
• दूरस्थ आंतरकोनांचे प्रमेय: त्रिकोणाचा बाह्यकोन त्याच्या दोन दूरस्थ आंतरकोनांच्या बेरजेएवढा असतो. म्हणून बाह्यकोन प्रत्येक दूरस्थ आंतरकोनापेक्षा मोठा असतो.
• एकरूपतेच्या कसोट्या: कोबाको (कोन-बाजू-कोन), बाकोबा (बाजू-कोन-बाजू), बाबाबा (बाजू-बाजू-बाजू) आणि काटकोन त्रिकोणांसाठी कर्णभुजा कसोटी. एकरूप त्रिकोणांचे संगत कोन व संगत बाजू एकरूप असतात.
• समद्विभुज त्रिकोणाचे प्रमेय: त्रिकोणाच्या दोन बाजू एकरूप असतील तर त्यांच्यासमोरील कोन एकरूप असतात. व्यत्यास: दोन कोन एकरूप असतील तर त्यांच्यासमोरील बाजू एकरूप असतात.
• समभुज त्रिकोणाचा प्रत्येक कोन 60° असतो.
• 30°–60°–90° त्रिकोण: 30° च्या कोनासमोरील बाजू कर्णाच्या निम्मी; 60° च्या कोनासमोरील बाजू (√3/2) × कर्ण.
• 45°–45°–90° त्रिकोण: काटकोन करणारी प्रत्येक बाजू = कर्ण/√2.
• मध्यगा: शिरोबिंदू व समोरच्या बाजूचा मध्यबिंदू जोडणारा रेषाखंड. तिन्ही मध्यगा एकाच बिंदूत मिळतात – मध्यगा संपात बिंदू; तो प्रत्येक मध्यगेचे 2 : 1 प्रमाणात विभाजन करतो. काटकोन त्रिकोणात कर्णावरील मध्यगा कर्णाच्या निम्मी असते.
• लंबदुभाजकाचे प्रमेय: रेषाखंडाच्या लंबदुभाजकावरील प्रत्येक बिंदू रेषाखंडाच्या टोकांपासून समदूर असतो; व्यत्यासही सत्य आहे.
• कोनदुभाजकाचे प्रमेय: कोनदुभाजकावरील प्रत्येक बिंदू कोनाच्या भुजांपासून समदूर असतो; व्यत्यासही सत्य आहे.
• असमानता: त्रिकोणात मोठ्या बाजूसमोरील कोन मोठा व मोठ्या कोनासमोरील बाजू मोठी असते. कोणत्याही दोन बाजूंची बेरीज तिसऱ्या बाजूपेक्षा मोठी असते.
• समरूप त्रिकोण: संगत कोन समान असलेल्या त्रिकोणांच्या संगत बाजू प्रमाणात असतात.

महत्त्वाच्या संज्ञा

• एकरूप त्रिकोण – एकमेकांवर तंतोतंत जुळणारे त्रिकोण.
• मध्यगा – शिरोबिंदूपासून समोरच्या बाजूच्या मध्यबिंदूपर्यंतचा रेषाखंड.
• मध्यगा संपात बिंदू – तिन्ही मध्यगा मिळतात तो बिंदू.
• समरूप त्रिकोण – आकार सारखा, संगत बाजू प्रमाणात असलेले त्रिकोण.

सूत्रे

• बाह्यकोन = दोन दूरस्थ आंतरकोनांची बेरीज
• 30°–60°–90°: 30° समोरील बाजू = ½ × कर्ण; 60° समोरील बाजू = (√3/2) × कर्ण
• 45°–45°–90°: प्रत्येक बाजू = कर्ण/√2
• कर्णावरील मध्यगा = ½ × कर्ण
• मध्यगा संपात बिंदू मध्यगेचे 2 : 1 प्रमाणात विभाजन करतो

५ महत्त्वाचे प्रश्न

Q1. ΔPQR मध्ये ∠P = 70° व ∠Q = 65° आहेत. R पाशी होणारा बाह्यकोन काढा.

दूरस्थ आंतरकोनांच्या प्रमेयानुसार बाह्यकोन = ∠P + ∠Q = 70° + 65° = 135°.

Q2. 30°–60°–90° त्रिकोणाचा कर्ण 12 cm आहे. इतर बाजू काढा.

30° समोरील बाजू = ½ × 12 = 6 cm.
60° समोरील बाजू = (√3/2) × 12 = 6√3 cm.

Q3. काटकोन समद्विभुज त्रिकोणाचा कर्ण 8√2 cm आहे. इतर प्रत्येक बाजू काढा.

प्रत्येक बाजू = कर्ण/√2 = 8√2/√2 = 8 cm.

Q4. ΔABC मध्ये AB = 5 cm, BC = 7 cm, AC = 4 cm. सर्वांत मोठा व सर्वांत लहान कोन कोणता?

सर्वांत मोठी बाजू BC समोर ∠A, म्हणून ∠A सर्वांत मोठा. सर्वांत लहान बाजू AC समोर ∠B, म्हणून ∠B सर्वांत लहान.

Q5. ΔABC चा G हा मध्यगा संपात बिंदू असून मध्यगा AD = 12 cm आहे. AG व GD काढा.

मध्यगा संपात बिंदू मध्यगेचे 2 : 1 प्रमाणात विभाजन करतो.
AG = (2/3) × 12 = 8 cm; GD = 12 − 8 = 4 cm.

परीक्षेसाठी टीप

एकरूपता लिहिताना कसोटीचे नाव व शिरोबिंदूंची संगती (उदा. ΔABC ≅ ΔPQR, बाकोबा कसोटी) नीट लिहा; संगतीचा क्रम महत्त्वाचा आहे.

थोडक्यात सारांश

त्रिकोणाच्या काही घटकांची माहिती दिली असता त्रिकोण कसा काढायचा ते या प्रकरणात शिकतो: (1) पाया, पायालगतचा एक कोन व उरलेल्या दोन बाजूंच्या लांबीची बेरीज; (2) पाया, पायालगतचा एक कोन व उरलेल्या दोन बाजूंतील फरक; (3) परिमिती व पायालगतचे दोन कोन. या रचनांमध्ये लंबदुभाजकाच्या प्रमेयाचा उपयोग होतो.

महत्त्वाचे मुद्दे

• मागील इयत्तेत शिकलेल्या रचना: तीन बाजू दिल्या असता; पाया व त्याला समाविष्ट करणारे कोन दिले असता; दोन बाजू व समाविष्ट कोन दिला असता; कर्ण व एक बाजू दिली असता काटकोन त्रिकोण.
• लंबदुभाजकाचे प्रमेय ही मुख्य कल्पना आहे: रेषाखंडाच्या लंबदुभाजकावरील प्रत्येक बिंदू त्याच्या अंत्यबिंदूंपासून समदूर असतो. यावरून तिसरा शिरोबिंदू मिळतो.
• एखादा बिंदू दोन भिन्न रेषांवर असेल तर तो त्या रेषांचा छेदनबिंदू असतो – हा गुणधर्म रचनांमध्ये वारंवार वापरतात.
• प्रथम कच्ची आकृती काढून दिलेली मापे तिच्यावर दाखवा व मग रचनेच्या पायऱ्या ठरवा.
• रचना I (पाया BC, ∠B व AB + AC दिले):
• रेख BC काढा. B पाशी दिलेल्या मापाचा कोन करणारा किरण BP काढा.
• किरण BP वर BD = AB + AC होईल असा बिंदू D घ्या.
• रेख DC काढा व त्याचा लंबदुभाजक काढा; तो रेख BD ला जेथे छेदतो तो बिंदू A. रेख AC काढा. (AD = AC म्हणून AB + AC = BD.)
• रचना II (पाया BC, ∠B व AB − AC दिले, AB > AC): किरण BP वर BD = AB − AC घ्या; रेख DC च्या लंबदुभाजकाने किरण BP ला छेदल्यास A मिळतो. AC > AB असल्यास D बिंदू BP च्या विरुद्ध किरणावर (BC च्या खालच्या बाजूस) घ्या.
• रचना III (परिमिती व पायालगतचे दोन कोन दिले): परिमितीएवढा रेख PQ काढा. P व Q पाशी अनुक्रमे ½∠B व ½∠C मापाचे कोन काढा; किरण जेथे मिळतात तो A. रेख AP व रेख AQ चे लंबदुभाजक PQ ला B व C मध्ये छेदतात. AB व AC जोडा.
• रचना III मध्ये लंबदुभाजकामुळे AB = PB व AC = CQ, म्हणून AB + BC + CA = PQ; तसेच ∠ABC = 2∠APB (बाह्यकोन).
• त्रिकोण शक्य होण्यासाठी दोन बाजूंची बेरीज तिसऱ्या बाजूपेक्षा मोठी व पायालगतच्या दोन कोनांची बेरीज 180° पेक्षा कमी असावी लागते.

महत्त्वाच्या संज्ञा

• लंबदुभाजक – रेषाखंडाच्या मध्यबिंदूतून जाणारी व त्याला लंब असणारी रेषा.
• कोनदुभाजक – कोनाचे दोन समान भाग करणारा किरण.
• परिमिती – सर्व बाजूंच्या लांबींची बेरीज.
• कच्ची आकृती – रचनेचे नियोजन करण्यासाठी काढलेली अंदाजे आकृती.

सूत्रे

• रचना I मध्ये: AB + AC = BD
• रचना III मध्ये: PQ = AB + BC + CA आणि ∠B = 2 × (P पाशी काढलेला कोन)

५ महत्त्वाचे प्रश्न

Q1. ΔXYZ असा काढा की YZ = 7.5 cm, ∠Y = 45° व XY + XZ = 10.5 cm. रचनेच्या पायऱ्या लिहा.

रेख YZ = 7.5 cm काढा. Y पाशी ∠ZYP = 45° होईल असा किरण YP काढा. किरण YP वर YD = 10.5 cm घ्या. रेख DZ काढा व त्याचा लंबदुभाजक काढा; तो रेख YD ला X मध्ये छेदतो. रेख XZ काढा. ΔXYZ हा अपेक्षित त्रिकोण.

Q2. रचना I मध्ये शिरोबिंदू A हा रेख DC च्या लंबदुभाजकावर का असतो?

A हा D व C पासून समदूर (AD = AC) असला पाहिजे. D व C पासून समदूर असणारे सर्व बिंदू रेख DC च्या लंबदुभाजकावर असतात.

Q3. ΔABC असा काढा की BC = 6 cm, ∠B = 50° व AB − AC = 2 cm. पायऱ्या लिहा.

रेख BC = 6 cm काढा. B पाशी 50° चा किरण BP काढा. किरण BP वर BD = 2 cm घ्या. रेख DC काढून त्याचा लंबदुभाजक काढा; तो किरण BP ला A मध्ये छेदतो. रेख AC काढा. ΔABC अपेक्षित त्रिकोण.

Q4. ΔPQR ची परिमिती 11.6 cm, ∠Q = 70° व ∠R = 80° आहे. रचनेच्या पायऱ्या लिहा.

रेख LM = 11.6 cm काढा. L पाशी 35° (70° चा निम्मा) व M पाशी 40° (80° चा निम्मा) चे कोन काढा; किरण P मध्ये मिळतात. रेख PL व रेख PM चे लंबदुभाजक काढा; ते LM ला Q व R मध्ये छेदतात. रेख PQ व रेख PR काढा. ΔPQR अपेक्षित त्रिकोण.

Q5. BC = 8 cm, ∠B = 60° व AB + AC = 7 cm असा त्रिकोण काढता येईल का? का?

नाही. त्रिकोणाच्या दोन बाजूंची बेरीज तिसऱ्या बाजूपेक्षा मोठी असावी लागते. येथे AB + AC = 7 cm हे BC = 8 cm पेक्षा कमी आहे, म्हणून त्रिकोण शक्य नाही.

परीक्षेसाठी टीप

रचनेतील सर्व कंस पुसू नका आणि कच्ची आकृती नेहमी काढा; दोन्हींना गुण असतात.

थोडक्यात सारांश

समांतरभुज चौकोनाचे गुणधर्म व कसोट्या, आयत, समभुज चौकोन व चौरस यांचे विशेष गुणधर्म, समलंब चौकोन आणि त्रिकोणाच्या दोन बाजूंच्या मध्यबिंदूंचे प्रमेय यांचा अभ्यास या प्रकरणात आहे.

महत्त्वाचे मुद्दे

• समांतरभुज चौकोन: संमुख बाजूंच्या दोन्ही जोड्या समांतर असलेला चौकोन.
• समांतरभुज चौकोनाचे गुणधर्म: संमुख बाजू एकरूप; संमुख कोन एकरूप; कर्ण परस्परांना दुभागतात; लगतचे कोन पूरक; एक कर्ण चौकोनाचे दोन एकरूप त्रिकोणांत विभाजन करतो.
• समांतरभुज चौकोनाच्या कसोट्या: चौकोनाच्या संमुख बाजूंच्या दोन्ही जोड्या एकरूप असतील; किंवा संमुख कोनांच्या दोन्ही जोड्या एकरूप असतील; किंवा कर्ण परस्परांना दुभागत असतील; किंवा संमुख बाजूंची एक जोडी समांतर व एकरूप असेल, तर तो समांतरभुज चौकोन असतो.
• आयत: प्रत्येक कोन 90° असलेला समांतरभुज चौकोन; त्याचे कर्ण एकरूप असतात.
• समभुज चौकोन: सर्व बाजू एकरूप असलेला समांतरभुज चौकोन; कर्ण परस्परांचे लंबदुभाजक असतात व संमुख कोनांना दुभागतात.
• चौरस: सर्व बाजू एकरूप व सर्व कोन 90°; कर्ण एकरूप, परस्परांचे लंबदुभाजक व बाजूंशी 45° चे कोन करतात.
• समलंब चौकोन: संमुख बाजूंची फक्त एकच जोडी समांतर असलेला चौकोन. समद्विभुज समलंब चौकोनात असमांतर बाजू एकरूप असतात व पायालगतचे कोन एकरूप असतात.
• समलंब चौकोनात एका असमांतर बाजूवरील, समांतर बाजूंमधील कोन पूरक असतात.
• त्रिकोणाच्या दोन बाजूंच्या मध्यबिंदूंचे प्रमेय: त्रिकोणाच्या दोन बाजूंचे मध्यबिंदू जोडणारा रेषाखंड तिसऱ्या बाजूला समांतर व तिच्या निम्मा असतो.
• व्यत्यास: त्रिकोणाच्या एका बाजूच्या मध्यबिंदूतून दुसऱ्या बाजूला समांतर काढलेली रेषा तिसऱ्या बाजूला दुभागते.

महत्त्वाच्या संज्ञा

• समांतरभुज चौकोन – संमुख बाजू समांतर असलेला चौकोन.
• समभुज चौकोन – सर्व बाजू समान असलेला चौकोन.
• समलंब चौकोन – संमुख बाजूंची फक्त एक जोडी समांतर.
• कर्ण – संमुख शिरोबिंदू जोडणारा रेषाखंड.

सूत्रे

• चौकोनाच्या कोनांची बेरीज = 360°
• d₁ व d₂ कर्ण असलेल्या समभुज चौकोनासाठी: (बाजू)² = (d₁/2)² + (d₂/2)²
• मध्यबिंदू प्रमेय: PQ = ½ BC व PQ ∥ BC
• चौरसाचा कर्ण = बाजू × √2

५ महत्त्वाचे प्रश्न

Q1. समांतरभुज चौकोन ABCD मध्ये ∠A = (3x + 12)° व ∠B = (2x − 32)° आहेत. x व सर्व कोनांची मापे काढा.

लगतचे कोन पूरक: 3x + 12 + 2x − 32 = 180 ⇒ 5x − 20 = 180 ⇒ 5x = 200 ⇒ x = 40.
∠A = 3(40) + 12 = 132° = ∠C; ∠B = 2(40) − 32 = 48° = ∠D.

Q2. समभुज चौकोनाचे कर्ण 24 cm व 10 cm आहेत. त्याची बाजू व परिमिती काढा.

कर्ण परस्परांचे लंबदुभाजक, म्हणून अर्धे कर्ण 12 cm व 5 cm.
बाजू = √(12² + 5²) = √(144 + 25) = √169 = 13 cm. परिमिती = 4 × 13 = 52 cm.

Q3. समांतरभुज चौकोनाचे कर्ण परस्परांना दुभागतात हे सिद्ध करा.

समांतरभुज चौकोन ABCD चे कर्ण O मध्ये छेदतात. ΔAOB व ΔCOD मध्ये: AB = CD (संमुख बाजू), ∠OAB = ∠OCD व ∠OBA = ∠ODC (व्युत्क्रम कोन). म्हणून ΔAOB ≅ ΔCOD (कोबाको कसोटी). म्हणून AO = CO व BO = DO (एकरूप त्रिकोणांच्या संगत बाजू).

Q4. ΔPQR मध्ये M व N हे बाजू PQ व PR चे मध्यबिंदू आहेत. QR = 9 cm असल्यास MN काढा.

मध्यबिंदूंच्या प्रमेयानुसार MN = ½ × QR = ½ × 9 = 4.5 cm व MN ∥ QR.

Q5. चौरसाचा कर्ण 13√2 cm आहे. त्याची बाजू काढा.

चौरसाचा कर्ण = बाजू × √2. म्हणून बाजू = 13√2 ÷ √2 = 13 cm.

परीक्षेसाठी टीप

प्रत्येक चौकोनाच्या बाजू, कोन व कर्णांचे गुणधर्म सारणीत पाठ करा; "चूक की बरोबर" व छोट्या सिद्धता त्यावरूनच येतात.

थोडक्यात सारांश

वर्तुळाच्या भागांची उजळणी करून जीवेचे गुणधर्म या प्रकरणात सिद्ध केले आहेत: केंद्रातून जीवेवर काढलेला लंब जीवेला दुभागतो आणि एकरूप जीवा केंद्रापासून समदूर असतात. त्रिकोणाचे अंतर्वर्तुळ व परिवर्तुळ आणि ते काढण्याच्या रचनाही यात आहेत.

महत्त्वाचे मुद्दे

• प्रतलातील एका स्थिर बिंदूपासून (केंद्र) ठरावीक अंतरावर (त्रिज्या) असणाऱ्या सर्व बिंदूंचा संच म्हणजे वर्तुळ.
• जीवा: वर्तुळावरील कोणतेही दोन बिंदू जोडणारा रेषाखंड. व्यास: केंद्रातून जाणारी जीवा; ती सर्वांत मोठी जीवा असून व्यास = 2 × त्रिज्या.
• समान त्रिज्यांची वर्तुळे एकरूप वर्तुळे; एकच केंद्र असलेली वर्तुळे एककेंद्री वर्तुळे.
• प्रमेय 1: वर्तुळाच्या केंद्रातून जीवेवर काढलेला लंब जीवेला दुभागतो.
• प्रमेय 2 (व्यत्यास): वर्तुळकेंद्र व जीवेचा मध्यबिंदू जोडणारा रेषाखंड जीवेला लंब असतो.
• प्रमेय 3: एकाच वर्तुळाच्या (किंवा एकरूप वर्तुळांच्या) एकरूप जीवा केंद्रापासून समान अंतरावर असतात.
• प्रमेय 4 (व्यत्यास): केंद्रापासून समान अंतरावर असलेल्या जीवा एकरूप असतात.
• जीवेचा लंबदुभाजक वर्तुळकेंद्रातून जातो.
• अंतर्वर्तुळ: त्रिकोणाच्या तिन्ही बाजूंना आतून स्पर्श करणारे वर्तुळ. त्याचे केंद्र (अंतर्मध्य / अंतर्केंद्र) म्हणजे त्रिकोणाच्या कोनदुभाजकांचा संपात बिंदू (कोनदुभाजक एकसंपाती असतात).
• परिवर्तुळ: त्रिकोणाच्या तिन्ही शिरोबिंदूंतून जाणारे वर्तुळ. त्याचे केंद्र (परिकेंद्र) म्हणजे बाजूंच्या लंबदुभाजकांचा संपात बिंदू.
• परिकेंद्र लघुकोन त्रिकोणात त्रिकोणाच्या आत, काटकोन त्रिकोणात कर्णाच्या मध्यबिंदूवर व विशालकोन त्रिकोणात त्रिकोणाच्या बाहेर असते. अंतर्केंद्र नेहमी त्रिकोणाच्या आत असते.
• समभुज त्रिकोणात अंतर्केंद्र व परिकेंद्र एकच बिंदू असतो.

महत्त्वाच्या संज्ञा

• जीवा – वर्तुळावरील दोन बिंदू जोडणारा रेषाखंड.
• अंतर्वर्तुळ – त्रिकोणाच्या सर्व बाजूंना आतून स्पर्श करणारे वर्तुळ.
• परिवर्तुळ – त्रिकोणाच्या सर्व शिरोबिंदूंतून जाणारे वर्तुळ.
• एकसंपाती रेषा – एकाच बिंदूतून जाणाऱ्या तीन किंवा अधिक रेषा.

सूत्रे

• व्यास = 2r
• 2x लांबीची जीवा केंद्रापासून d अंतरावर असेल तर: r² = x² + d² (पायथागोरसचे प्रमेय)

५ महत्त्वाचे प्रश्न

Q1. वर्तुळाची 24 cm लांबीची जीवा केंद्रापासून 5 cm अंतरावर आहे. वर्तुळाची त्रिज्या काढा.

केंद्रातून काढलेला लंब जीवेला दुभागतो, म्हणून अर्धी जीवा = 12 cm.
r² = 12² + 5² = 144 + 25 = 169, म्हणून r = 13 cm.

Q2. वर्तुळाची त्रिज्या 10 cm आहे व एक जीवा केंद्रापासून 6 cm अंतरावर आहे. जीवेची लांबी काढा.

अर्धी जीवा = √(10² − 6²) = √(100 − 36) = √64 = 8 cm. जीवा = 2 × 8 = 16 cm.

Q3. वर्तुळाच्या केंद्रातून जीवेवर काढलेला लंब जीवेला दुभागतो, हे सिद्ध करा.

पक्ष: O केंद्र, AB जीवा, रेख OP ⊥ जीवा AB. साध्य: AP = BP.
सिद्धता: OA व OB जोडा. काटकोन ΔOPA व ΔOPB मध्ये OA = OB (एकाच वर्तुळाच्या त्रिज्या), OP = OP (सामाईक बाजू). कर्णभुजा कसोटीनुसार ΔOPA ≅ ΔOPB. म्हणून AP = BP.

Q4. काटकोन त्रिकोणाचे परिकेंद्र कोठे असते? का?

कर्णाच्या मध्यबिंदूवर. कारण कर्णाचा मध्यबिंदू तिन्ही शिरोबिंदूंपासून समदूर असतो (कर्णावरील मध्यगा कर्णाच्या निम्मी असते).

Q5. ΔABC चे अंतर्वर्तुळ कसे काढाल?

कोणत्याही दोन कोनांचे दुभाजक काढा; ते I मध्ये छेदतात (अंतर्केंद्र). I मधून एका बाजूवर लंब IM काढा. I केंद्र व IM त्रिज्या घेऊन वर्तुळ काढा; ते तिन्ही बाजूंना स्पर्श करते.

परीक्षेसाठी टीप

जीवेच्या उदाहरणांत केंद्रातून जीवेवर लंब काढा आणि अर्धी जीवा घेऊन पायथागोरसचे प्रमेय वापरा.

थोडक्यात सारांश

निर्देशक भूमितीत प्रतलातील बिंदूचे अचूक स्थान दोन संख्यांनी सांगतात. X-अक्ष, Y-अक्ष, आरंभबिंदू व चरण, बिंदूंचे निर्देशक वाचणे व बिंदू स्थापन करणे आणि अक्षांना समांतर रेषांची समीकरणे या प्रकरणात शिकतो.

महत्त्वाचे मुद्दे

• सतराव्या शतकातील फ्रेंच गणिती रेने देकार्त यांनी प्रतलातील बिंदू वास्तव संख्यांच्या क्रमित जोडीने दर्शवता येतात हे प्रथम मांडले.
• परस्परांना लंब असलेल्या दोन संख्यारेषा काढतात: आडवी X-अक्ष व उभी Y-अक्ष. त्या आरंभबिंदू O (0, 0) मध्ये छेदतात.
• बिंदू P चे स्थान क्रमित जोडी (x, y) ने लिहितात: x हा x निर्देशक (Y-अक्षापासूनचे अंतर) व y हा y निर्देशक (X-अक्षापासूनचे अंतर).
• क्रम महत्त्वाचा आहे: (2, 3) व (3, 2) हे वेगळे बिंदू आहेत.
• अक्षांमुळे प्रतलाचे चार चरण होतात; त्यांचे क्रमांक घड्याळाच्या काट्याच्या विरुद्ध दिशेने मानतात:
• चरण I: (+, +); चरण II: (−, +); चरण III: (−, −); चरण IV: (+, −).
• अक्षांवरील बिंदू कोणत्याही चरणात समाविष्ट केले जात नाहीत.
• X-अक्षावरील प्रत्येक बिंदूचा y निर्देशक 0 असतो, उदा. (5, 0). Y-अक्षावरील प्रत्येक बिंदूचा x निर्देशक 0 असतो, उदा. (0, −3).
• X-अक्षाला समांतर रेषा: तिच्यावरील सर्व बिंदूंचा y निर्देशक सारखा; समीकरण y = b. उदा. y = 3 ही X-अक्षाच्या 3 एकक वरची रेषा.
• Y-अक्षाला समांतर रेषा: सर्व बिंदूंचा x निर्देशक सारखा; समीकरण x = a. उदा. x = −2.
• X-अक्षाचे समीकरण y = 0 व Y-अक्षाचे समीकरण x = 0.
• y = b व x = a या रेषा परस्परांना लंब असून (a, b) मध्ये छेदतात.
• (a, b) बिंदू स्थापन करणे: O पासून X-अक्षावर a एकक (धन असल्यास उजवीकडे, ऋण असल्यास डावीकडे) व मग Y-अक्षाला समांतर b एकक (धन असल्यास वर, ऋण असल्यास खाली) जा.

महत्त्वाच्या संज्ञा

• आरंभबिंदू – अक्ष छेदतात तो बिंदू (0, 0).
• x निर्देशक / y निर्देशक – बिंदूचे Y-अक्षापासूनचे / X-अक्षापासूनचे चिन्हासह अंतर.
• चरण – अक्षांमुळे झालेल्या प्रतलाच्या चार भागांपैकी एक.
• क्रमित जोडी – क्रम महत्त्वाचा असलेली (x, y) जोडी.

सूत्रे

५ महत्त्वाचे प्रश्न

Q1. खालील बिंदू कोणत्या चरणात किंवा कोणत्या अक्षावर आहेत: A(−3, 2), B(5, 0), C(−1, −4), D(0, 7), E(4, −6)?

A – चरण II; B – X-अक्षावर; C – चरण III; D – Y-अक्षावर; E – चरण IV.

Q2. (−4, 6) मधून जाणाऱ्या व Y-अक्षाला समांतर असणाऱ्या रेषेचे समीकरण लिहा.

या रेषेवरील सर्व बिंदूंचा x निर्देशक −4. समीकरण: x = −4.

Q3. X-अक्षाच्या खाली 5 एकक अंतरावर असलेल्या व X-अक्षाला समांतर रेषेचे समीकरण लिहा.

सर्व बिंदूंचा y निर्देशक −5. समीकरण: y = −5.

Q4. x = 3 व y = −2 या रेषांचा छेदनबिंदू काढा.

रेषा (3, −2) मध्ये छेदतात; हा बिंदू चरण IV मध्ये आहे.

Q5. एका बिंदूचा x निर्देशक 0 व y निर्देशक −3 आहे. तो कोठे आहे? आरंभबिंदूचे निर्देशक लिहा.

(0, −3) हा बिंदू Y-अक्षाच्या ऋण बाजूवर, आरंभबिंदूच्या 3 एकक खाली आहे. आरंभबिंदूचे निर्देशक (0, 0).

परीक्षेसाठी टीप

चरणांची चिन्हे (+,+), (−,+), (−,−), (+,−) घड्याळाच्या काट्याच्या विरुद्ध क्रमाने लक्षात ठेवा; अनेक एक गुणांचे प्रश्न त्यावरून सुटतात.

थोडक्यात सारांश

त्रिकोणमिती म्हणजे त्रिकोणांचे मापन. काटकोन त्रिकोणातील लघुकोनासाठी sine, cosine व tangent ही त्रिकोणमितीय गुणोत्तरे, त्यांच्यातील संबंध आणि 0°, 30°, 45°, 60° व 90° या कोनांच्या गुणोत्तरांच्या किमती या प्रकरणात शिकतो.

महत्त्वाचे मुद्दे

• काटकोन ΔABC मध्ये ∠B = 90° व लघुकोन θ = ∠C असेल तर: θ च्या समोरील बाजू = AB, θ ची लगतची बाजू = BC, कर्ण = AC.
• sin θ = समोरील बाजू ÷ कर्ण
• cos θ = लगतची बाजू ÷ कर्ण
• tan θ = समोरील बाजू ÷ लगतची बाजू
• अधिक माहितीसाठी: cosec θ = 1/sin θ, sec θ = 1/cos θ, cot θ = 1/tan θ.
• tan θ = sin θ / cos θ.
• गुणोत्तरे फक्त कोनावर अवलंबून असतात, त्रिकोणाच्या आकारावर नाहीत (समरूप त्रिकोणांत तीच गुणोत्तरे मिळतात).
• लघुकोनासाठी sin θ व cos θ यांच्या किमती 0 व 1 यांच्या दरम्यान असतात.
• कोटिकोन: बेरीज 90° असलेले कोन. sin θ = cos (90° − θ) व cos θ = sin (90° − θ).
• पायथागोरसच्या प्रमेयावरून sin²θ + cos²θ = 1 हे समीकरण मिळते. (sin θ)² हा sin²θ असा लिहितात.
• 30°–60°–90° व 45°–45°–90° त्रिकोणांच्या गुणधर्मांवरून विशिष्ट कोनांच्या किमती मिळतात.

महत्त्वाच्या संज्ञा

• त्रिकोणमितीय गुणोत्तर – लघुकोनाशी संबंधित काटकोन त्रिकोणाच्या दोन बाजूंचे गुणोत्तर.
• कर्ण – काटकोनासमोरील बाजू.
• कोटिकोन – बेरीज 90° असलेले दोन कोन.

सूत्रे

• sin²θ + cos²θ = 1
• tan θ = sin θ / cos θ
• sin θ = cos (90° − θ)

५ महत्त्वाचे प्रश्न

Q1. काटकोन ΔPQR मध्ये ∠Q = 90°, PQ = 12 व QR = 5 आहेत. sin R, cos R व tan R काढा.

PR = √(12² + 5²) = √169 = 13.
∠R साठी समोरील बाजू = PQ = 12, लगतची बाजू = QR = 5.
sin R = 12/13, cos R = 5/13, tan R = 12/5.

Q2. sin θ = 3/5 असेल तर cos θ व tan θ काढा.

cos²θ = 1 − sin²θ = 1 − 9/25 = 16/25, म्हणून cos θ = 4/5.
tan θ = sin θ / cos θ = (3/5)/(4/5) = 3/4.

Q3. किंमत काढा: 2 sin 30° + 3 tan 45° − cos 60°.

= 2 × ½ + 3 × 1 − ½ = 1 + 3 − ½ = 7/2 = 3.5.

Q4. किंमत काढा: cos 48° / sin 42°.

sin 42° = cos (90° − 42°) = cos 48°. म्हणून किंमत = cos 48° / cos 48° = 1.

Q5. sin²60° + cos²60° ची किंमत काढून समीकरणाचा पडताळा घ्या.

sin²60° = (√3/2)² = 3/4; cos²60° = (1/2)² = 1/4. बेरीज = 3/4 + 1/4 = 1. ✓

परीक्षेसाठी टीप

सारणी पाठ करण्याची युक्ती: sin 0°, 30°, 45°, 60°, 90° = √0/2, √1/2, √2/2, √3/2, √4/2; cos साठी हीच यादी उलट्या क्रमाने.

थोडक्यात सारांश

इष्टिकाचिती, घन व वृत्तचिती यांच्या पृष्ठफळ व घनफळाची उजळणी करून शंकू, गोल व अर्धगोल यांचे पृष्ठफळ व घनफळ या प्रकरणात शिकतो. व्यवहारातील उदाहरणेही यात आहेत.

महत्त्वाचे मुद्दे

• पृष्ठफळ म्हणजे घनाकृतीच्या सर्व बाह्य पृष्ठभागांचे क्षेत्रफळ (एकक चौसेमी, चौमी). घनफळ म्हणजे घनाकृतीने व्यापलेली जागा (एकक घसेमी, घमी).
• 1 लीटर = 1000 घसेमी; 1 घमी = 1000 लीटर.
• शंकू: तळ r त्रिज्येचे वर्तुळ, लंबउंची h (शिरोबिंदूपासून तळाच्या केंद्रापर्यंत, तळाला लंब) व तिरकस उंची l. त्यांचा संबंध l² = r² + h² (काटकोन त्रिकोणावरून).
• काटकोन त्रिकोण त्याच्या काटकोन करणाऱ्या एका बाजूभोवती फिरवल्यास शंकू तयार होतो.
• समान तळ व समान उंचीच्या वृत्तचितीच्या घनफळाच्या एक तृतीयांश घनफळ शंकूचे असते (शंकूने तीन वेळा पाणी ओतल्यास वृत्तचिती भरते).
• गोल: पृष्ठभागावरील प्रत्येक बिंदू केंद्रापासून r अंतरावर असतो. गोलाचा निम्मा भाग म्हणजे अर्धगोल.
• अर्धगोलाचे वक्रपृष्ठफळ = 2πr²; भरीव अर्धगोलाचे एकूण पृष्ठफळ = 3πr² (वक्र भाग + सपाट वर्तुळ).
• उदाहरणात सांगितल्याप्रमाणे π = 22/7 किंवा 3.14 घ्या.
• व्यवहारातील उदाहरणांत (तंबू, आइस्क्रीम कोन, चेंडू, वाटी) आधी वक्रपृष्ठफळ हवे की एकूण पृष्ठफळ ते ठरवा.

महत्त्वाच्या संज्ञा

• तिरकस उंची – शंकूच्या शिरोबिंदूपासून तळाच्या परिघावरील कोणत्याही बिंदूपर्यंतचे अंतर.
• वक्रपृष्ठफळ – फक्त वक्र भागाचे क्षेत्रफळ.
• एकूण पृष्ठफळ – वक्रपृष्ठफळ + सपाट पृष्ठभागांचे क्षेत्रफळ.

सूत्रे

५ महत्त्वाचे प्रश्न

Q1. शंकूची त्रिज्या 7 cm व लंबउंची 24 cm आहे. तिरकस उंची व वक्रपृष्ठफळ काढा.

l = √(r² + h²) = √(7² + 24²) = √(49 + 576) = √625 = 25 cm.
वक्रपृष्ठफळ = πrl = (22/7) × 7 × 25 = 550 चौसेमी.

Q2. 6 cm त्रिज्या व 7 cm उंचीच्या शंकूचे घनफळ काढा.

V = ⅓ πr²h = ⅓ × (22/7) × 36 × 7 = ⅓ × 22 × 36 = 264 घसेमी.

Q3. 7 cm त्रिज्येच्या गोलाचे पृष्ठफळ व घनफळ काढा.

पृष्ठफळ = 4πr² = 4 × (22/7) × 49 = 616 चौसेमी.
घनफळ = (4/3)πr³ = (4/3) × (22/7) × 343 = 4312/3 ≈ 1437.33 घसेमी.

Q4. अर्धगोलाकार वाटीची त्रिज्या 10.5 cm आहे. तिच्यात किती पाणी मावेल?

V = (2/3)πr³ = (2/3) × (22/7) × 10.5 × 10.5 × 10.5 = 2425.5 घसेमी ≈ 2.43 लीटर.

Q5. शंकूचे एकूण पृष्ठफळ 704 चौसेमी व त्रिज्या 7 cm आहे. तिरकस उंची काढा.

πr(l + r) = 704 ⇒ (22/7) × 7 × (l + 7) = 704 ⇒ 22(l + 7) = 704 ⇒ l + 7 = 32 ⇒ l = 25 cm.

परीक्षेसाठी टीप

आधी सूत्र लिहा, मग किमती ठेवा आणि एककासह उत्तर लिहा; प्रत्येक पायरीला गुण असतात.