गणित Mathematics

थोडक्यात सारांश

या पाठात त्रिकोणाचे कोनदुभाजक व बाजूंचे लंबदुभाजक यांचे एकसंपातित्व (अंतर्मध्य व परिमध्य) आणि दिलेल्या मापांवरून कंपास व पट्टीच्या साहाय्याने त्रिकोण रचना शिकतो. रचना करण्यापूर्वी नेहमी कच्ची आकृती काढावी.

महत्त्वाचे मुद्दे

• त्रिकोणाचे तीनही कोनदुभाजक एकसंपाती असतात. त्यांच्या संपातबिंदूला अंतर्मध्य (I) म्हणतात; तो नेहमी त्रिकोणाच्या आत असतो व तीनही बाजूंपासून समान अंतरावर असतो.
• त्रिकोणाच्या बाजूंचे तीनही लंबदुभाजक एकसंपाती असतात. त्यांच्या संपातबिंदूला परिमध्य (C) म्हणतात; तो तीनही शिरोबिंदूंपासून समान अंतरावर असतो.
• परिमध्य लघुकोन त्रिकोणात आत, काटकोन त्रिकोणात कर्णाच्या मध्यबिंदूवर आणि विशालकोन त्रिकोणात बाहेर असतो.
• फक्त दोन बाजू दिल्यास एकच विशिष्ट त्रिकोण मिळत नाही; योग्य अशी तीन मापे लागतात.
• तीन बाजू (बाबाबा),
• दोन बाजू व त्यांमधील कोन (बाकोबा),
• दोन कोन व त्यांमधील बाजू (कोबाको),
• काटकोन त्रिकोणाचा कर्ण व एक बाजू.
• एकमेव त्रिकोण काढता येतो जेव्हा दिलेले असते:
• दोन कोन व त्यांमध्ये नसलेली बाजू दिल्यास, तिसरा कोन (180° मधून) काढून कोबाको पद्धत वापरावी.
• कच्च्या आकृतीत दिलेली मापे लिहावीत व मोठी बाजू मोठी, विशालकोन विशालच दाखवावा.

महत्त्वाच्या संज्ञा

• एकसंपाती रेषा – एकाच बिंदूतून जाणाऱ्या तीन किंवा अधिक रेषा.
• कोनदुभाजक – कोनाचे दोन समान भाग करणारा किरण.
• लंबदुभाजक – रेषाखंडाच्या मध्यबिंदूतून जाणारी व त्याला लंब असणारी रेषा.
• अंतर्मध्य – कोनदुभाजकांचा संपातबिंदू.
• परिमध्य – बाजूंच्या लंबदुभाजकांचा संपातबिंदू.

सूत्रे

• त्रिकोणाच्या तीन कोनांच्या मापांची बेरीज = 180°
• त्रिकोण तयार होण्यासाठी: कोणत्याही दोन बाजूंची बेरीज > तिसरी बाजू

५ महत्त्वाचे प्रश्न

Q1. अंतर्मध्य व परिमध्य यांतील फरक लिहा.

अंतर्मध्य हा कोनदुभाजकांचा संपातबिंदू असून तो नेहमी त्रिकोणाच्या आत असतो व बाजूंपासून समदूर असतो. परिमध्य हा लंबदुभाजकांचा संपातबिंदू असून तो शिरोबिंदूंपासून समदूर असतो; त्रिकोणाच्या प्रकारानुसार आत, बाजूवर किंवा बाहेर असतो.

Q2. 3 सेमी, 4 सेमी व 8 सेमी बाजू असलेला त्रिकोण काढता येईल का?

नाही. 3 + 4 = 7 हे 8 पेक्षा लहान आहे. त्रिकोणासाठी कोणत्याही दोन बाजूंची बेरीज तिसऱ्या बाजूपेक्षा मोठी असावी लागते.

Q3. △ABC असा काढा की l(AB) = 5.5 सेमी, l(BC) = 4.2 सेमी, l(AC) = 3.5 सेमी. रचनेच्या पायऱ्या लिहा.

1. कच्ची आकृती काढून मापे लिहा. 2. 5.5 सेमी चा रेख AB काढा. 3. A केंद्र घेऊन 3.5 सेमी त्रिज्येचा कंस काढा. 4. B केंद्र घेऊन 4.2 सेमी त्रिज्येचा कंस काढा; दोन्ही कंस C मध्ये छेदतात. 5. AC व BC जोडा.

Q4. △PQR मध्ये ∠P = 60°, ∠Q = 70° व QR = 5 सेमी. रचनेसाठी तिसरा कोन काढा.

∠R = 180° − (60° + 70°) = 50°. आता बाजू QR = 5 सेमी व तिच्या टोकांवरील ∠Q = 70°, ∠R = 50° घेऊन कोबाको पद्धतीने त्रिकोण काढता येतो.

Q5. काटकोन त्रिकोणात परिमध्य कोठे असतो? का?

काटकोन त्रिकोणात परिमध्य कर्णाच्या मध्यबिंदूवर असतो. कर्णाचा मध्यबिंदू तीनही शिरोबिंदूंपासून समान अंतरावर असतो.

परीक्षेसाठी टीप

रचनेच्या प्रश्नात आधी कच्ची आकृती काढा आणि रचनेच्या खुणा (कंस) पुसू नका; त्याला गुण असतात.

थोडक्यात सारांश

पूर्णांक संख्यांमध्ये धन संख्या, ऋण संख्या व शून्य येतात. या पाठात पूर्णांकांचा गुणाकार व भागाकार करताना चिन्हांचे नियम आणि पूर्णांकांचा भागाकार अपूर्णांकाच्या रूपात कसा लिहावा हे शिकतो.

महत्त्वाचे मुद्दे

• गुणाकार म्हणजे पुन्हा पुन्हा केलेली बेरीज: (−3) × 4 = (−3) + (−3) + (−3) + (−3) = −12.
• कर्ज ऋण चिन्हाने दाखवता येते: 3 मित्रांकडून प्रत्येकी ₹5 उसने घेतले तर (−5) × 3 = −15.
• (+) × (+) = (+)
• (+) × (−) = (−)
• (−) × (+) = (−)
• (−) × (−) = (+)
• गुणाकाराचे चिन्हनियम:
• कोणत्याही पूर्णांकाला 0 ने गुणल्यास गुणाकार 0 येतो.
• भागाकारालाही गुणाकाराप्रमाणेच चिन्हनियम लागू होतात.
• कोणत्याही संख्येला शून्याने भागता येत नाही.
• भागाकार अपूर्णांकात लिहिताना छेद धन ठेवावा: 7/(−2) = −7/2, (−11)/(−3) = 11/3.
• 1/2 व −1/2 या विरुद्ध संख्या आहेत; त्यांची बेरीज 0 येते.
• अपूर्णांक संक्षिप्त रूपात लिहावा: (−24)/9 = −8/3.

महत्त्वाच्या संज्ञा

• पूर्णांक संख्या – … −2, −1, 0, 1, 2 … अशा संख्या.
• गुणाकार – गुणण्याचे उत्तर.
• भागाकार – भागण्याचे उत्तर.
• विरुद्ध संख्या (बेरीज व्यस्त) – दिलेल्या संख्येत मिळवल्यास बेरीज 0 देणारी संख्या.

सूत्रे

• (−a) × (−b) = ab
• (−a) × b = a × (−b) = −ab
• (−a) ÷ (−b) = a/b ; (−a) ÷ b = a ÷ (−b) = −a/b (b ≠ 0)

५ महत्त्वाचे प्रश्न

Q1. गुणाकार करा: (−8) × (−9) आणि (−7) × 6.

(−8) × (−9) = 72 (ऋण × ऋण = धन). (−7) × 6 = −42 (ऋण × धन = ऋण).

Q2. भागाकार करा: (−96) ÷ 8 आणि (−75) ÷ (−5).

(−96) ÷ 8 = −12. (−75) ÷ (−5) = 15.

Q3. सोडवा: (−3) × (−4) × (−5).

पायरी 1: (−3) × (−4) = 12. पायरी 2: 12 × (−5) = −60. उत्तर −60. (तीन ऋण संख्यांचा गुणाकार ऋण येतो.)

Q4. एका ठिकाणचे तापमान दर तासाला 3°C ने कमी होते. 6 तासांत तापमानात किती बदल होईल?

दर तासाचा बदल = −3°C. 6 तासांत बदल = (−3) × 6 = −18°C. म्हणजे तापमान 18°C ने कमी होईल.

Q5. पुढील भागाकार संक्षिप्त अपूर्णांक रूपात लिहा: 15 ÷ (−20) आणि (−36) ÷ (−27).

15 ÷ (−20) = −15/20 = −3/4 (5 ने भागून). (−36) ÷ (−27) = 36/27 = 4/3 (9 ने भागून).

परीक्षेसाठी टीप

आधी चिन्ह ठरवा, नंतर संख्यांचा गुणाकार/भागाकार करा; ऋण संख्यांची संख्या सम असेल तर उत्तर धन, विषम असेल तर ऋण.

थोडक्यात सारांश

या पाठात मूळ संख्या, सहमूळ संख्या व जोडमूळ संख्या यांची उजळणी, संख्येचे मूळ अवयव पाडणे आणि त्यांच्या साहाय्याने (तसेच भागाकार पद्धतीने) मसावि व लसावि काढणे व त्यांचा शाब्दिक उदाहरणांत उपयोग शिकतो.

महत्त्वाचे मुद्दे

• 1 ही संख्या मूळही नाही व संयुक्तही नाही. 2 ही एकमेव सम मूळ संख्या आहे.
• सहमूळ संख्या: ज्यांचा सामाईक विभाजक फक्त 1 असतो, उदा. (10, 21), (4, 9). कोणत्याही दोन क्रमागत नैसर्गिक संख्या सहमूळ असतात.
• जोडमूळ संख्या: ज्यांतील फरक 2 आहे अशा मूळ संख्या, उदा. (3, 5), (11, 13), (29, 31).
• प्रत्येक संयुक्त संख्या मूळ संख्यांच्या गुणाकाराच्या रूपात लिहिता येते: 24 = 2 × 2 × 2 × 3; 250 = 2 × 5 × 5 × 5.
• मसावि (महत्तम सामाईक विभाजक): दिलेल्या संख्यांना निःशेष भाग जाणारी सर्वांत मोठी संख्या. सामाईक मूळ अवयवांचा गुणाकार.
• लसावि (लघुतम सामाईक विभाज्य): दिलेल्या संख्यांची सर्वांत लहान सामाईक विभाज्य संख्या. सामाईक अवयव एकदाच व उरलेले सर्व अवयव यांचा गुणाकार.
• भागाकार पद्धत: मोठ्या संख्येला लहान संख्येने भागावे, मग भाजकाला बाकीने भागावे; बाकी 0 येईपर्यंत करावे. शेवटचा भाजक म्हणजे मसावि.
• सहमूळ संख्यांचा मसावि 1 व लसावि त्यांचा गुणाकार असतो.
• मसावि – अपूर्णांक संक्षिप्त करणे, 'सर्वांत मोठे माप' प्रश्न; लसावि – 'सर्वांत लहान संख्या', 'पुन्हा एकत्र केव्हा' प्रश्न.

महत्त्वाच्या संज्ञा

• मूळ संख्या – जिला फक्त 1 व ती संख्या स्वतः असे दोनच विभाजक असतात.
• संयुक्त संख्या – जिला दोनपेक्षा जास्त विभाजक असतात.
• मूळ अवयव पाडणे – संख्या मूळ संख्यांच्या गुणाकाराच्या रूपात लिहिणे.
• मसावि / लसावि – महत्तम सामाईक विभाजक / लघुतम सामाईक विभाज्य.

सूत्रे

• दोन संख्यांचा मसावि × लसावि = त्या दोन संख्यांचा गुणाकार
• दुसरी संख्या = (मसावि × लसावि) ÷ दिलेली संख्या

५ महत्त्वाचे प्रश्न

Q1. 1 ते 50 मधील जोडमूळ संख्यांच्या जोड्या लिहा.

(3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43).

Q2. 36 आणि 48 यांचा मसावि व लसावि काढा.

36 = 2 × 2 × 3 × 3; 48 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3. मसावि = 2 × 2 × 3 = 12. लसावि = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 = 144.

Q3. भागाकार पद्धतीने 133 व 152 यांचा मसावि काढा.

152 ÷ 133 = 1, बाकी 19. 133 ÷ 19 = 7, बाकी 0. शेवटचा भाजक 19, म्हणून मसावि = 19.

Q4. दोन संख्यांचा मसावि 6 व लसावि 180 आहे. एक संख्या 36 असल्यास दुसरी संख्या काढा.

दुसरी संख्या = (मसावि × लसावि) ÷ दिलेली संख्या = (6 × 180) ÷ 36 = 1080 ÷ 36 = 30.

Q5. दोन घंटा अनुक्रमे दर 12 मिनिटांनी व 18 मिनिटांनी वाजतात. सकाळी 8 वाजता एकत्र वाजल्या तर पुन्हा केव्हा एकत्र वाजतील?

12 व 18 यांचा लसावि = 36. म्हणून 36 मिनिटांनी, म्हणजे सकाळी 8 वाजून 36 मिनिटांनी पुन्हा एकत्र वाजतील.

परीक्षेसाठी टीप

प्रश्नात 'सर्वांत मोठे/जास्तीत जास्त माप' असेल तर मसावि, 'सर्वांत लहान/पुन्हा केव्हा' असेल तर लसावि वापरा.

थोडक्यात सारांश

या पाठात कोनाचा अंतर्भाग व बाह्यभाग आणि कोनांच्या विविध जोड्या – लगतचे कोन, कोटिकोन, पूरक कोन, रेषीय जोडीतील कोन व विरुद्ध कोन – यांचा अभ्यास करतो. त्रिकोणाचा बाह्यकोन हा दूरस्थ आंतरकोनांच्या बेरजेइतका असतो हा गुणधर्मही शिकतो.

महत्त्वाचे मुद्दे

• कोनाच्या भुजांवर नसलेले बिंदू कोनाच्या अंतर्भागात किंवा बाह्यभागात असतात.
• लगतचे कोन: सामाईक शिरोबिंदू, एक सामाईक भुजा आणि वेगवेगळे अंतर्भाग.
• कोटिकोन: ज्या दोन कोनांच्या मापांची बेरीज 90° आहे (उदा. 40° व 50°).
• पूरक कोन: ज्या दोन कोनांच्या मापांची बेरीज 180° आहे (उदा. 110° व 70°).
• विरुद्ध किरण: एकच आरंभबिंदू असलेले व एकाच रेषेत असलेले विरुद्ध दिशेचे किरण.
• रेषीय जोडीतील कोन: ज्या लगतच्या कोनांच्या सामाईक नसलेल्या भुजा विरुद्ध किरण असतात. रेषीय जोडीतील कोन परस्परांचे पूरक असतात.
• दोन रेषा एकमेकींना छेदतात तेव्हा तयार होणारे विरुद्ध कोन एकरूप (समान मापाचे) असतात.
• त्रिकोणाचा बाह्यकोन: त्रिकोणाची एक बाजू पुढे वाढवल्यावर तयार होणारा कोन; तो लगतच्या आंतरकोनाशी रेषीय जोडी करतो.
• बाह्यकोनाचा गुणधर्म: त्रिकोणाच्या बाह्यकोनाचे माप हे त्याच्या दूरस्थ आंतरकोनांच्या मापांच्या बेरजेइतके असते.
• त्रिकोणाच्या तीनही कोनांच्या मापांची बेरीज 180° असते.

महत्त्वाच्या संज्ञा

• शिरोबिंदू – कोनाच्या दोन भुजांचा सामाईक बिंदू.
• x° चा कोटिकोन = (90 − x)°.
• x° चा पूरक कोन = (180 − x)°.
• दूरस्थ आंतरकोन – बाह्यकोनाला लगत नसलेले त्रिकोणाचे दोन आंतरकोन.

सूत्रे

• कोटिकोन: ∠A + ∠B = 90°
• पूरक कोन: ∠A + ∠B = 180°
• रेषीय जोडी: ∠1 + ∠2 = 180°
• △PQR मध्ये बाजू QR पुढे S पर्यंत वाढवल्यास: बाह्यकोन ∠PRS = ∠P + ∠Q

५ महत्त्वाचे प्रश्न

Q1. 35° मापाच्या कोनाचा कोटिकोन व पूरक कोन काढा.

कोटिकोन = 90° − 35° = 55°. पूरक कोन = 180° − 35° = 145°.

Q2. दोन रेषा एकमेकींना छेदतात. त्यांपैकी एक कोन 70° आहे. उरलेले कोन काढा.

विरुद्ध कोन समान, म्हणून त्याच्या समोरचा कोन 70°. रेषीय जोडीमुळे लगतचे कोन 180° − 70° = 110° व त्याचा विरुद्ध कोनही 110°.

Q3. दोन पूरक कोनांपैकी एक कोन दुसऱ्यापेक्षा 40° ने मोठा आहे. दोन्ही कोन काढा.

लहान कोन x मानू; मोठा कोन x + 40. x + x + 40 = 180, 2x = 140, x = 70. म्हणून कोन 70° व 110°.

Q4. △ABC मध्ये ∠A = 55°, ∠B = 65°. बाजू BC पुढे D पर्यंत वाढवली. ∠ACD व ∠ACB काढा.

बाह्यकोनाच्या गुणधर्माने ∠ACD = ∠A + ∠B = 55° + 65° = 120°. रेषीय जोडीमुळे ∠ACB = 180° − 120° = 60°.

Q5. रेषीय जोडीतील कोन नेहमी पूरक असतात, पण पूरक कोन नेहमी रेषीय जोडीत असतातच असे नाही. स्पष्ट करा.

रेषीय जोडीतील कोन लगत असून त्यांच्या बाहेरच्या भुजा एका रेषेत असल्याने बेरीज 180° होते. पण 100° व 80° असे दोन वेगळे, लगत नसलेले कोनही पूरक असू शकतात; ते रेषीय जोडीत नसतात.

परीक्षेसाठी टीप

आकृतीत आधी रेषीय जोडी व विरुद्ध कोन ओळखा; बाह्यकोनाचा गुणधर्म वापरल्यास उत्तर एका पायरीत मिळते.

थोडक्यात सारांश

m व n पूर्णांक असून n ≠ 0 असताना m/n या रूपात लिहिता येणाऱ्या संख्येला परिमेय संख्या म्हणतात. या पाठात परिमेय संख्यांवरील क्रिया, गुणाकार व्यस्त, परिमेय संख्यांची तुलना, त्यांचे दशांशरूप (खंडित किंवा आवर्ती) आणि कंस असलेल्या पदावल्या सोडवणे शिकतो.

महत्त्वाचे मुद्दे

• प्रत्येक नैसर्गिक संख्या, पूर्ण संख्या व पूर्णांक ही परिमेय संख्या आहे: 4 = 12/3, −3 = −3/1, 0 = 0/2.
• परिमेय संख्यांवरील क्रिया अपूर्णांकांवरील क्रियांप्रमाणेच करतात.
• गुणाकार व्यस्त: ज्या दोन संख्यांचा गुणाकार 1 येतो, उदा. 5/6 व 6/5; (−4/7) व (−7/4).
• −11/9 व 9/11 परस्परांचे गुणाकार व्यस्त नाहीत, कारण त्यांचा गुणाकार −1 येतो.
• एखाद्या संख्येने भागणे म्हणजे तिच्या गुणाकार व्यस्ताने गुणणे.
• शून्याला गुणाकार व्यस्त नाही; शून्याने भागता येत नाही.
• दोन परिमेय संख्यांच्या दरम्यान असंख्य परिमेय संख्या असतात.
• खंडित दशांशरूप: भागाकार पूर्ण होतो (7/4 = 1.75). आवर्ती दशांशरूप: एखादा अंक किंवा अंकसमूह पुन्हा पुन्हा येतो (2/11 = 0.1818…, 5/6 = 0.833…).
• आवर्ती अंकांवर रेघ (बार) देऊन पुनरावृत्ती दाखवतात.
• पदावली सोडवताना आधी कंस, मग भागाकार व गुणाकार (डावीकडून उजवीकडे), शेवटी बेरीज व वजाबाकी.

महत्त्वाच्या संज्ञा

• परिमेय संख्या – m/n रूपातील संख्या, n ≠ 0.
• गुणाकार व्यस्त – ज्याने गुणल्यास गुणाकार 1 येतो ती संख्या.
• खंडित दशांश – संपणारे दशांशरूप.
• आवर्ती दशांश – अंक किंवा अंकसमूह न संपता पुन्हा पुन्हा येणारे दशांशरूप.

सूत्रे

• a/b + c/d = (ad + bc)/bd
• a/b × c/d = ac/bd
• a/b ÷ c/d = a/b × d/c (c ≠ 0)
• a/b व c/d (b, d धन) यांची तुलना: ad व bc यांची तुलना करा

५ महत्त्वाचे प्रश्न

Q1. पुढील संख्यांचे गुणाकार व्यस्त लिहा: 7/9, −3, −5/8.

7/9 चा 9/7; −3 चा −1/3; −5/8 चा −8/5.

Q2. सोडवा: 5/7 ÷ (−10/21).

5/7 × (−21/10) (गुणाकार व्यस्ताने गुणले) = −105/70 = −3/2.

Q3. तुलना करा: −3/5 आणि −2/3.

तिरकस गुणाकार: (−3) × 3 = −9 आणि (−2) × 5 = −10. −9 > −10, म्हणून −3/5 > −2/3.

Q4. दशांशरूपात लिहा व प्रकार सांगा: 3/8 आणि 4/9.

3/8 = 0.375 – भागाकार पूर्ण होतो, म्हणून खंडित दशांशरूप. 4/9 = 0.444… – अंक 4 पुन्हा पुन्हा येतो, म्हणून आवर्ती दशांशरूप.

Q5. सोडवा: 2/3 + (−5/6) − (1/4).

छेदांचा लसावि 12. 8/12 − 10/12 − 3/12 = (8 − 10 − 3)/12 = −5/12.

परीक्षेसाठी टीप

भागाकाराचे उदाहरण नेहमी 'गुणाकार व्यस्ताने गुणणे' अशी पायरी लिहून सोडवा आणि उत्तर संक्षिप्त रूपात द्या.

थोडक्यात सारांश

एखादी संख्या स्वतःशीच अनेकदा गुणली की ती 2⁸ अशा घातांकरूपात लिहितात. या पाठात पाया व घातांक, घातांकांचे नियम आणि मूळ अवयव पद्धतीने वर्गमूळ काढणे यांचा अभ्यास करतो.

महत्त्वाचे मुद्दे

• aᵐ मध्ये a हा पाया व m हा घातांक: aᵐ = a × a × … (m वेळा). वाचन: 'a चा m वा घात'.
• 5⁴ = 5 × 5 × 5 × 5 = 625.
• कोणत्याही संख्येचा पहिला घात ती संख्याच असते: a¹ = a.
• दुसरा घात म्हणजे वर्ग (3² = 9); तिसरा घात म्हणजे घन (5³ = 125).
• ऋण पायाला सम घातांक असल्यास उत्तर धन, विषम घातांक असल्यास ऋण: (−7)⁴ = 2401, (−6)³ = −216.
• शून्येतर कोणत्याही संख्येचा शून्य घात 1 असतो: a⁰ = 1.
• a⁻ᵐ = 1/aᵐ (गुणाकार व्यस्त).
• वर्गमूळ (मूळ अवयव पद्धत): मूळ अवयव पाडावेत, समान अवयवांच्या जोड्या कराव्यात, प्रत्येक जोडीतील एक अवयव घेऊन गुणावे. √144 = 2 × 2 × 3 = 12.
• पूर्ण वर्ग नसलेल्या संख्यांचे वर्गमूळ अंदाजे काढता येते, उदा. √137 हे 11.7 व 11.8 यांच्या दरम्यान आहे.

महत्त्वाच्या संज्ञा

• पाया – पुन्हा पुन्हा गुणली जाणारी संख्या.
• घातांक – पाया किती वेळा गुणला आहे ती संख्या.
• पूर्ण वर्ग संख्या – पूर्ण संख्येचा वर्ग (1, 4, 9, 16, …).
• वर्गमूळ (√) – जिचा वर्ग दिलेली संख्या आहे ती संख्या.

सूत्रे

घातांकांचे नियम (a, b ≠ 0; m, n पूर्णांक):

• aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ
• aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ
• (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ
• (ab)ᵐ = aᵐbᵐ
• (a/b)ᵐ = aᵐ/bᵐ
• a⁰ = 1, a⁻ᵐ = 1/aᵐ, (a/b)⁻ᵐ = (b/a)ᵐ

५ महत्त्वाचे प्रश्न

Q1. किंमत काढा: (−2)⁵ आणि 7⁰.

(−2)⁵ = (−2) × (−2) × (−2) × (−2) × (−2) = −32 (विषम घातांक). 7⁰ = 1.

Q2. सरळरूप द्या: 2⁵ × 2³.

aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, म्हणून 2⁵ × 2³ = 2⁵⁺³ = 2⁸ = 256.

Q3. किंमत काढा: (3²)³ आणि 7⁵ ÷ 7³.

(3²)³ = 3²ˣ³ = 3⁶ = 729. 7⁵ ÷ 7³ = 7⁵⁻³ = 7² = 49.

Q4. किंमत काढा: (2/3)⁻².

(a/b)⁻ᵐ = (b/a)ᵐ, म्हणून (2/3)⁻² = (3/2)² = 9/4.

Q5. मूळ अवयव पद्धतीने √324 काढा.

324 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3. जोड्या: (2 × 2), (3 × 3), (3 × 3). प्रत्येक जोडीतील एक: 2 × 3 × 3 = 18. पडताळा: 18² = 324. म्हणून √324 = 18.

परीक्षेसाठी टीप

नियम वापरताना पाया समान आहे का ते आधी तपासा; ऋण पायाच्या घातात सम-विषम घातांकानुसार चिन्ह ठरवा.

थोडक्यात सारांश

जोडस्तंभालेखात संबंधित माहितीचे दोन (किंवा अधिक) संच एकाच आलेखात शेजारी शेजारी दाखवतात. त्यामुळे जागा वाचते व तुलना करणे सोपे होते. या पाठात जोडस्तंभालेख वाचणे व काढणे शिकतो.

महत्त्वाचे मुद्दे

• साध्या स्तंभालेखात माहितीचा एक संच असतो; जोडस्तंभालेखात दोन संबंधित संच एकत्र दाखवतात, उदा. एकाच वर्षांतील अजय व विजय यांचे गहू उत्पादन.
• X अक्षावरील एकाच खुणेवर (वर्ष, दिवस, इयत्ता) जोडीतील दोन्ही स्तंभ एकमेकांना लागून काढतात; दोन जोड्यांमध्ये अंतर ठेवतात.
• प्रत्येक संचासाठी वेगळा रंग किंवा छटा वापरून ती माहिती आलेखाच्या कोपऱ्यात दाखवावी.
• Y अक्षावर योग्य प्रमाण निवडावे, उदा. 1 सेमी = 10 क्विंटल किंवा 1 सेमी = 5°C, व ते आलेखावर लिहावे.
• आलेखाला नाव द्यावे व दोन्ही अक्षांवर काय दाखवले आहे ते लिहावे.
• जोडस्तंभालेखावरून मूल्यांची तुलना, सर्वाधिक/सर्वांत कमी मूल्य आणि फरक काढता येतो.
• उदा. पुण्याचे पाच दिवसांचे कमाल व किमान तापमान – एखाद्या दिवसाचा फरक = कमाल स्तंभाची उंची − किमान स्तंभाची उंची.

महत्त्वाच्या संज्ञा

• X अक्ष – आडवी रेषा; बहुधा वर्ष, दिवस असे गट दाखवते.
• Y अक्ष – उभी रेषा; राशी (संख्या) दाखवते.
• प्रमाण – लांबीचे एक एकक किती मूल्य दाखवते ते.
• खूण-सूचना – कोणता रंग कोणत्या माहितीचा आहे हे दाखवणारी चौकट.

सूत्रे

• स्तंभाची उंची = मूल्य ÷ 1 सेमी चे मूल्य (प्रमाणानुसार)
• उदा. प्रमाण 1 सेमी = 10 क्विंटल; 45 क्विंटल → 4.5 सेमी उंचीचा स्तंभ

५ महत्त्वाचे प्रश्न

Q1. जोडस्तंभालेख म्हणजे काय?

संबंधित माहितीचे दोन संच तुलनेसाठी एकाच आलेखात, एकाच खुणेवर लगतच्या स्तंभांनी दाखवणाऱ्या आलेखाला जोडस्तंभालेख म्हणतात.

Q2. जोडस्तंभालेख काढताना कोणत्या गोष्टींची काळजी घ्यावी?

योग्य प्रमाण निवडून ते लिहावे; जोडीतील स्तंभ लागून व समान रुंदीचे काढावेत; दोन संचांना वेगळे रंग देऊन सूचना लिहावी; आलेखाला नाव व अक्षांना नावे द्यावीत.

Q3. प्रमाण 1 सेमी = 5°C असल्यास 35°C व 20°C साठी स्तंभांची उंची किती?

35 ÷ 5 = 7 सेमी आणि 20 ÷ 5 = 4 सेमी.

Q4. एका शाळेत 2022 मध्ये 40 मुले व 35 मुली, 2023 मध्ये 45 मुले व 50 मुली होत्या. प्रमाण 1 सेमी = 10 विद्यार्थी घेतल्यास स्तंभांच्या उंची लिहा.

2022: मुले 40 ÷ 10 = 4 सेमी, मुली 35 ÷ 10 = 3.5 सेमी. 2023: मुले 4.5 सेमी, मुली 5 सेमी. X अक्षावर वर्ष व Y अक्षावर विद्यार्थीसंख्या दाखवावी.

Q5. वरील माहितीवरून कोणत्या वर्षी मुलींची संख्या मुलांपेक्षा जास्त होती व किती ने?

2023 मध्ये. मुली 50 व मुले 45, म्हणून मुली 50 − 45 = 5 ने जास्त होत्या.

परीक्षेसाठी टीप

आलेखात प्रमाण, सूचना-चौकट व नाव लिहायला विसरू नका; या प्रत्येकाला गुण असतात.

थोडक्यात सारांश

बदलणाऱ्या संख्यांसाठी अक्षरांचा (चलांचा) वापर करतात. या पाठात बैजिक राशी, पद, सहगुणक, सजातीय व विजातीय पदे, राशींचे प्रकार, बैजिक राशींची बेरीज, वजाबाकी व गुणाकार, राशीची किंमत काढणे आणि एकचल समीकरणे सोडवणे शिकतो.

महत्त्वाचे मुद्दे

• एका रांगेत n चौरस काढण्यासाठी लागणाऱ्या काड्या = 3n + 1. येथे n हे चल व 3n + 1 ही बैजिक राशी.
• राशीतील ज्या भागात फक्त गुणाकार असतो त्याला पद म्हणतात: 4x² − 2y + xz मध्ये 4x², −2y, xz ही पदे.
• 3x मध्ये 3 हा x चा सहगुणक; −15t मध्ये सहगुणक −15.
• सजातीय पदे: चल व त्यांचे घातांक सारखे (5x व −2x). विजातीय पदे: तसे नसलेली (3x व 3y).
• प्रकार: एकपदी (7xy), द्‌विपदी (a + b), त्रिपदी (x² + x + 1), बहुपदी (एक किंवा अधिक पदे, घातांक पूर्ण संख्या).
• फक्त सजातीय पदांचीच बेरीज-वजाबाकी करता येते – त्यांच्या सहगुणकांची बेरीज-वजाबाकी करावी.
• वजाबाकी करताना वजा करायच्या राशीतील प्रत्येक पदाचे चिन्ह बदलून बेरीज करावी.
• गुणाकार: सहगुणकांचा गुणाकार करावा व समान चलांचे घातांक मिळवावेत. एका राशीतील प्रत्येक पदाने दुसऱ्या राशीतील प्रत्येक पदाला गुणावे.
• राशीची किंमत काढण्यासाठी चलांच्या जागी दिलेल्या संख्या ठेवाव्यात.
• एकचल समीकरण सोडवताना दोन्ही बाजूंवर एकच क्रिया केली तरी समानता टिकते.

महत्त्वाच्या संज्ञा

• चल – संख्येऐवजी वापरलेले अक्षर.
• स्थिरांक – न बदलणारी संख्या.
• सहगुणक – पदातील संख्यात्मक अवयव.
• सजातीय पदे – ज्यांचा चलभाग सारखा आहे अशी पदे.

सूत्रे

• आयताची परिमिती = 2l + 2b = 2(l + b)
• a × a = a²; x² × x³ = x⁵
• a(b + c) = ab + ac

५ महत्त्वाचे प्रश्न

Q1. बेरीज करा: (3x + 5y) + (2x − 7y).

सजातीय पदे एकत्र: (3x + 2x) + (5y − 7y) = 5x − 2y.

Q2. वजाबाकी करा: (5a − 3b) − (2a + 4b).

दुसऱ्या राशीची चिन्हे बदलून: 5a − 3b − 2a − 4b = (5a − 2a) + (−3b − 4b) = 3a − 7b.

Q3. गुणाकार करा: (x + 3)(x − 2).

x(x − 2) + 3(x − 2) = x² − 2x + 3x − 6 = x² + x − 6.

Q4. x = −2 असताना 2x² − 3x + 4 ची किंमत काढा.

2(−2)² − 3(−2) + 4 = 2 × 4 + 6 + 4 = 8 + 6 + 4 = 18.

Q5. सोडवा: 3x + 5 = 20.

दोन्ही बाजूंतून 5 वजा: 3x = 15. दोन्ही बाजूंना 3 ने भागून: x = 5. पडताळा: 3 × 5 + 5 = 20.

परीक्षेसाठी टीप

वजाबाकीत चिन्ह बदलणे विसरू नका आणि उत्तर सजातीय पदे एकत्र करूनच लिहा.

थोडक्यात सारांश

दोन राशी एकाच प्रमाणात एकत्र वाढत किंवा कमी होत असतील तर त्या समप्रमाणात असतात. एक राशी वाढल्यावर दुसरी अशा रीतीने कमी होते की त्यांचा गुणाकार स्थिर राहतो, तर त्या व्यस्तप्रमाणात असतात. या पाठात भागीदारीतील नफा-तोटा वाटणीही शिकतो.

महत्त्वाचे मुद्दे

• समप्रमाण: दोन राशींचे गुणोत्तर स्थिर राहते. उदा. मुलांची संख्या व वह्या (15 : 90 = 12 : 72 = 1 : 6), भरलेले पेट्रोल व कापलेले अंतर.
• व्यस्तप्रमाण: दोन राशींचा गुणाकार स्थिर राहतो. उदा. मजुरांची संख्या व काम पूर्ण होण्यास लागणारे दिवस; ठरावीक अंतरासाठी वेग व वेळ.
• उदा. 48 गणिते: रोज 8 सोडवल्यास 6 दिवस, रोज 12 सोडवल्यास 4 दिवस; 8 × 6 = 12 × 4 = 48.
• समप्रमाणात x/y = k (स्थिरांक); व्यस्तप्रमाणात x × y = k.
• भागीदारी: दोन किंवा अधिक व्यक्ती भांडवल गुंतवून व्यवसाय करतात. नफा किंवा तोटा गुंतवणुकीच्या गुणोत्तरात वाटला जातो.
• एखादी रक्कम a : b या गुणोत्तरात वाटताना भाग ax व bx मानावेत; ax + bx = एकूण रक्कम.

महत्त्वाच्या संज्ञा

• गुणोत्तर – भागाकाराने केलेली दोन राशींची तुलना.
• प्रमाण – दोन गुणोत्तरांची समानता.
• भांडवल – व्यवसायासाठी गुंतवलेली रक्कम.
• भागीदारी – दोन किंवा अधिक व्यक्तींनी मिळून सुरू केलेला व्यवसाय.

सूत्रे

• समप्रमाण: x₁/y₁ = x₂/y₂
• व्यस्तप्रमाण: x₁ × y₁ = x₂ × y₂
• भागीदाराचा वाटा = (त्याचा गुणोत्तरातील भाग ÷ गुणोत्तरातील भागांची बेरीज) × एकूण नफा

५ महत्त्वाचे प्रश्न

Q1. पुढील राशी समप्रमाणात की व्यस्तप्रमाणात आहेत: (अ) वस्तूंची संख्या व त्यांची किंमत (ब) मजूर व काम पूर्ण होण्यास लागणारे दिवस.

(अ) समप्रमाणात – वस्तू वाढल्या की किंमत त्याच प्रमाणात वाढते. (ब) व्यस्तप्रमाणात – मजूर वाढले की दिवस कमी होतात.

Q2. 5 पेनांची किंमत ₹60 आहे, तर 8 पेनांची किंमत किती?

समप्रमाण: 1 पेन = 60 ÷ 5 = ₹12. 8 पेन = 12 × 8 = ₹96.

Q3. एक काम 12 मजूर 15 दिवसांत करतात. तेच काम 20 मजूर किती दिवसांत करतील?

व्यस्तप्रमाण: 12 × 15 = 20 × x. 180 = 20x, x = 9. म्हणून 9 दिवस.

Q4. एक गाडी ताशी 60 किमी वेगाने ठरावीक अंतर 5 तासांत कापते. ताशी 75 किमी वेगाने ते अंतर किती वेळात कापेल?

अंतर = 60 × 5 = 300 किमी (वेग × वेळ स्थिर). वेळ = 300 ÷ 75 = 4 तास.

Q5. अमरने ₹20,000 व सलीमने ₹30,000 गुंतवून व्यवसाय केला. ₹15,000 नफा झाल्यास प्रत्येकाचा वाटा काढा.

गुणोत्तर 20000 : 30000 = 2 : 3. भाग 2x व 3x; 5x = 15000, x = 3000. अमरचा वाटा 2 × 3000 = ₹6,000; सलीमचा वाटा 3 × 3000 = ₹9,000.

परीक्षेसाठी टीप

आधी ठरवा – एक राशी वाढल्यावर दुसरी वाढते (समप्रमाण) की कमी होते (व्यस्तप्रमाण); त्यानुसार गुणोत्तर किंवा गुणाकार वापरा.

थोडक्यात सारांश

बँक ही पैशांचे व्यवहार करणारी सरकारमान्य संस्था आहे; ती आपले पैसे सुरक्षित ठेवते व कर्ज देते. या पाठात बँकेतील खात्यांचे प्रकार, पासबुकमधील नोंदी, एटीएम, डेबिट व क्रेडिट कार्ड आणि सरळव्याज व रास काढणे शिकतो.

महत्त्वाचे मुद्दे

• चालू खाते: व्यापाऱ्यांसाठी; कितीही वेळा पैसे भरता-काढता येतात; व्याज मिळत नाही.
• बचत खाते: शिल्लक रकमेवर व्याज मिळते; पैसे काढण्यावर काही मर्यादा; पासबुक व चेकबुक मिळते.
• आवर्ती ठेव खाते: दर महिन्याला ठरावीक रक्कम भरावी लागते; बचत खात्यापेक्षा जास्त व्याज; सक्तीची बचत होते.
• मुदत ठेव: ठरावीक रक्कम ठरावीक मुदतीसाठी ठेवतात; जास्त व्याजदर; ज्येष्ठ नागरिकांना थोडा जास्त दर.
• संयुक्त खाते एकापेक्षा जास्त व्यक्ती (पती-पत्नी, भागीदार, संस्था) वापरू शकतात.
• एटीएम कार्डने बँकेत न जाता पैसे काढता येतात; डेबिट/क्रेडिट कार्डने रोख न देता व्यवहार करता येतात.
• पासबुकमध्ये दिनांक, तपशील, चेक क्रमांक, काढलेली रक्कम, भरलेली रक्कम व शिल्लक यांची नोंद असते.
• मुद्दल (P): घेतलेली किंवा ठेवलेली रक्कम. व्याजदर (R): ₹100 वर एका वर्षाचे व्याज, 'दर साल दर शेकडा' (द.सा.द.शे.). मुदत (N) वर्षांत.
• व्याज: दुसऱ्याचे पैसे वापरण्याबद्दल दिलेली जास्तीची रक्कम. रास = मुद्दल + व्याज.

महत्त्वाच्या संज्ञा

• मुद्दल – मूळ रक्कम.
• व्याजदर – ₹100 वर 1 वर्षाचे व्याज.
• सरळव्याज – फक्त मुद्दलावर काढलेले व्याज.
• रास – परत द्यायची एकूण रक्कम (मुद्दल + व्याज).

सूत्रे

• सरळव्याज I = (P × R × N) ÷ 100
• रास A = P + I
• P = (I × 100) ÷ (R × N); R = (I × 100) ÷ (P × N); N = (I × 100) ÷ (P × R)

५ महत्त्वाचे प्रश्न

Q1. चालू खाते व बचत खाते यांतील फरक लिहा.

चालू खाते व्यापाऱ्यांसाठी असून त्यावर व्याज मिळत नाही व व्यवहारांवर मर्यादा नसते. बचत खात्यावर व्याज मिळते, पण पैसे काढण्यावर काही मर्यादा असतात.

Q2. ₹5,000 वर द.सा.द.शे. 8 दराने 3 वर्षांचे सरळव्याज व रास काढा.

I = (5000 × 8 × 3) ÷ 100 = 120000 ÷ 100 = ₹1,200. रास = 5000 + 1200 = ₹6,200.

Q3. ₹6,000 मुद्दलावर 3 वर्षांत ₹1,800 व्याज मिळाले. व्याजदर काढा.

R = (I × 100) ÷ (P × N) = (1800 × 100) ÷ (6000 × 3) = 180000 ÷ 18000 = 10. व्याजदर द.सा.द.शे. 10.

Q4. किती मुद्दलावर द.सा.द.शे. 6 दराने 5 वर्षांत ₹900 व्याज मिळेल?

P = (I × 100) ÷ (R × N) = (900 × 100) ÷ (6 × 5) = 90000 ÷ 30 = ₹3,000.

Q5. ₹12,000 वर द.सा.द.शे. 9 दराने ₹4,320 व्याज होण्यास किती वर्षे लागतील?

N = (I × 100) ÷ (P × R) = (4320 × 100) ÷ (12000 × 9) = 432000 ÷ 108000 = 4. म्हणून 4 वर्षे.

परीक्षेसाठी टीप

उदाहरणात आधी P, R, N, I यांपैकी काय दिले आहे व काय काढायचे आहे ते लिहा; मग योग्य सूत्र वापरा.

थोडक्यात सारांश

या पाठात वर्तुळाचा परीघ व π हा स्थिरांक, तसेच वर्तुळकंस – लघुकंस, विशालकंस, अर्धवर्तुळकंस – आणि केंद्रीय कोनाच्या साहाय्याने कंसाचे माप यांचा अभ्यास करतो.

महत्त्वाचे मुद्दे

• वर्तुळाचे भाग: केंद्र, त्रिज्या, जीवा, व्यास (सर्वांत मोठी जीवा), परीघ.
• व्यास d = 2 × त्रिज्या r.
• प्रत्येक वर्तुळासाठी परीघ ÷ व्यास हे गुणोत्तर 3 पेक्षा थोडे जास्त असलेला स्थिरांक असतो; त्याला π (पाय) म्हणतात.
• π ही परिमेय संख्या नाही; उदाहरणांत π = 22/7 किंवा 3.14 घेतात. दिले नसल्यास 22/7 घ्यावा.
• चाकाच्या एका पूर्ण फेरीत कापलेले अंतर चाकाच्या परिघाइतके असते.
• जीवा वर्तुळाचे दोन कंस करते: लहान तो लघुकंस, मोठा तो विशालकंस. व्यास वर्तुळाचे दोन अर्धवर्तुळकंस करतो.
• केंद्रीय कोन: ज्याचा शिरोबिंदू वर्तुळकेंद्र आहे असा कोन.
• लघुकंसाचे माप = त्याच्या केंद्रीय कोनाचे माप.
• विशालकंसाचे माप = 360° − संगत लघुकंसाचे माप.
• अर्धवर्तुळकंसाचे माप = 180°; पूर्ण वर्तुळाचे माप = 360°.

महत्त्वाच्या संज्ञा

• परीघ – वर्तुळाच्या सीमेची लांबी.
• वर्तुळकंस – परिघाचा एक भाग.
• संगत कंस – समान टोकबिंदू असलेले लघुकंस व विशालकंस, जे मिळून पूर्ण वर्तुळ होते.
• केंद्रीय कोन – कंसाने केंद्राशी केलेला कोन.

सूत्रे

• परीघ c = πd = 2πr
• d = c ÷ π ; r = c ÷ 2π
• फेऱ्यांची संख्या = एकूण अंतर ÷ परीघ
• m(विशालकंस) = 360° − m(लघुकंस)

५ महत्त्वाचे प्रश्न

Q1. 7 सेमी त्रिज्येच्या वर्तुळाचा परीघ काढा.

c = 2πr = 2 × 22/7 × 7 = 44 सेमी.

Q2. एका वर्तुळाचा परीघ 88 सेमी आहे. त्याचा व्यास काढा.

d = c ÷ π = 88 ÷ 22/7 = 88 × 7/22 = 28 सेमी.

Q3. एका लघुकंसाचे माप 110° आहे. संगत विशालकंसाचे माप काढा.

m(विशालकंस) = 360° − 110° = 250°.

Q4. एका सायकलच्या चाकाची त्रिज्या 35 सेमी आहे. 1.1 किमी अंतर जाण्यासाठी चाक किती फेऱ्या घेईल?

परीघ = 2 × 22/7 × 35 = 220 सेमी. अंतर = 1.1 किमी = 110000 सेमी. फेऱ्या = 110000 ÷ 220 = 500.

Q5. लघुकंस, विशालकंस व अर्धवर्तुळकंस यांतील फरक मापांसह लिहा.

लघुकंसाचे माप 180° पेक्षा कमी (केंद्रीय कोनाइतके), विशालकंसाचे माप 180° पेक्षा जास्त (360° − लघुकंस) आणि अर्धवर्तुळकंसाचे माप बरोबर 180°.

परीक्षेसाठी टीप

परिघाच्या उदाहरणांत एकके (सेमी, मी, किमी) एकसारखी करूनच भागाकार करा; π चे मूल्य 22/7 घेतल्यास गणित सोपे होते.

थोडक्यात सारांश

बंदिस्त आकृतीच्या सीमेची लांबी म्हणजे परिमिती व तिने व्यापलेला भाग म्हणजे क्षेत्रफळ. या पाठात आयत व चौरसाची परिमिती व क्षेत्रफळ यांची उजळणी, त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ, रस्ते व फरशांची उदाहरणे आणि इष्टिकाचिती व घनाचे पृष्ठफळ शिकतो.

महत्त्वाचे मुद्दे

• बहुभुजाकृतीची परिमिती = सर्व बाजूंच्या लांबींची बेरीज.
• चौरसाची परिमिती = 4 × बाजू; आयताची परिमिती = 2(l + b).
• आयताचे क्षेत्रफळ = l × b; चौरसाचे क्षेत्रफळ = (बाजू)².
• दोन एकरूप काटकोन त्रिकोण मिळून आयत होतो, म्हणून काटकोन त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ = ½ × काटकोन करणाऱ्या बाजूंचा गुणाकार.
• कोणत्याही त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ = ½ × पाया × उंची (उंची म्हणजे समोरच्या शिरोबिंदूपासून पायावर टाकलेला लंब).
• बागेच्या आतील रस्ता: रस्त्याचे क्षेत्रफळ = बागेचे क्षेत्रफळ − आतील आयताचे क्षेत्रफळ (लांबी व रुंदीतून 2 × रस्त्याची रुंदी वजा).
• मैदानाबाहेरील रस्ता: रस्त्याचे क्षेत्रफळ = बाहेरील आयताचे क्षेत्रफळ (2 × रुंदी मिळवून) − मैदानाचे क्षेत्रफळ.
• फरशांची संख्या = झाकायचे क्षेत्रफळ ÷ एका फरशीचे क्षेत्रफळ (एकके सारखी हवीत).
• त्रिमितीय वस्तूचे पृष्ठफळ = तिच्या सर्व पृष्ठांच्या क्षेत्रफळांची बेरीज.
• इष्टिकाचितीला 6 आयताकृती पृष्ठे असतात, समोरासमोरची पृष्ठे एकरूप. घनाला 6 एकरूप चौरसाकृती पृष्ठे असतात.
• 1 मी = 100 सेमी, म्हणून 1 चौमी = 10,000 चौसेमी.

महत्त्वाच्या संज्ञा

• परिमिती – सीमेची एकूण लांबी.
• क्षेत्रफळ – आकृतीने व्यापलेला भाग, चौरस एककांत.
• त्रिकोणाची उंची – शिरोबिंदूपासून समोरच्या बाजूवरील लंबाची लांबी.
• पृष्ठफळ – घनाकृतीच्या सर्व पृष्ठांचे एकूण क्षेत्रफळ.

सूत्रे

• त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ = ½ × b × h
• इष्टिकाचितीचे पृष्ठफळ = 2(lb + bh + lh)
• घनाचे पृष्ठफळ = 6l²
• बाहेरील रस्त्याचे क्षेत्रफळ = (l + 2w)(b + 2w) − lb

५ महत्त्वाचे प्रश्न

Q1. पाया 12 सेमी व उंची 7 सेमी असलेल्या त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ काढा.

क्षेत्रफळ = ½ × 12 × 7 = 42 चौसेमी.

Q2. 6 सेमी बाजू असलेल्या घनाचे पृष्ठफळ काढा.

पृष्ठफळ = 6l² = 6 × 6 × 6 = 216 चौसेमी.

Q3. 10 सेमी × 8 सेमी × 5 सेमी मापाच्या इष्टिकाचितीचे पृष्ठफळ काढा.

2(lb + bh + lh) = 2(10 × 8 + 8 × 5 + 10 × 5) = 2(80 + 40 + 50) = 2 × 170 = 340 चौसेमी.

Q4. 65 मी लांब व 30 मी रुंद मैदानाभोवती बाहेरून 1.5 मी रुंदीचा रस्ता आहे. रस्त्याचे क्षेत्रफळ काढा.

बाहेरील आयत: 65 + 3 = 68 मी व 30 + 3 = 33 मी; क्षेत्रफळ 68 × 33 = 2244 चौमी. मैदान 65 × 30 = 1950 चौमी. रस्ता = 2244 − 1950 = 294 चौमी.

Q5. 5 मी × 4 मी खोलीत 25 सेमी × 25 सेमी च्या किती फरशा लागतील?

खोली = 500 सेमी × 400 सेमी = 200000 चौसेमी. एक फरशी = 25 × 25 = 625 चौसेमी. फरशा = 200000 ÷ 625 = 320.

परीक्षेसाठी टीप

रस्त्याच्या उदाहरणात आधी आकृती काढा व रस्ता आत की बाहेर ते ठरवा; एकके एकसारखी करूनच उत्तर काढा.

थोडक्यात सारांश

काटकोन त्रिकोणात काटकोनासमोरील बाजूला कर्ण म्हणतात. पायथागोरसचा सिद्धान्त तीन बाजूंचा संबंध सांगतो: कर्णाचा वर्ग हा उरलेल्या दोन बाजूंच्या वर्गांच्या बेरजेइतका असतो. या सिद्धान्ताने अज्ञात बाजू काढता येते व त्रिकोण काटकोन आहे का ते तपासता येते.

महत्त्वाचे मुद्दे

• कर्ण ही काटकोनासमोरील बाजू असून ती सर्वांत मोठी बाजू असते.
• पायथागोरसचा सिद्धान्त: काटकोन त्रिकोणात (कर्ण)² = (पहिली बाजू)² + (दुसरी बाजू)².
• पायथागोरस हा इ.स.पूर्व सहाव्या शतकातील ग्रीक गणितज्ञ होता. हेच तत्त्व प्राचीन भारतीय ग्रंथ शुल्बसूत्रात दिलेले आहे; पायथागोरसने त्याची प्रथम सिद्धता दिली, म्हणून त्याचे नाव दिले.
• त्रिकोणाच्या बाजूंसाठी a² + b² = c² (c सर्वांत मोठी बाजू) असेल, तर तो काटकोन त्रिकोण असतो.
• पायथागोरसचे त्रिकूट: सिद्धान्त पाळणाऱ्या तीन नैसर्गिक संख्या – (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (8, 15, 17), (7, 24, 25).
• एखाद्या त्रिकुटातील संख्यांना एकाच संख्येने गुणल्यास नवे त्रिकूट मिळते.

महत्त्वाच्या संज्ञा

• काटकोन त्रिकोण – ज्याचा एक कोन 90° आहे असा त्रिकोण.
• कर्ण – काटकोनासमोरील बाजू.
• पायथागोरसचे त्रिकूट – a² + b² = c² पाळणाऱ्या तीन संख्या.

सूत्रे

△ABC मध्ये ∠B = 90° असल्यास:

• AC² = AB² + BC²
• AB² = AC² − BC²
• BC² = AC² − AB²

५ महत्त्वाचे प्रश्न

Q1. काटकोन त्रिकोणाच्या काटकोन करणाऱ्या बाजू 6 सेमी व 8 सेमी आहेत. कर्ण काढा.

कर्ण² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100. कर्ण = √100 = 10 सेमी.

Q2. काटकोन त्रिकोणाचा कर्ण 13 सेमी व एक बाजू 5 सेमी आहे. दुसरी बाजू काढा.

बाजू² = 13² − 5² = 169 − 25 = 144. बाजू = √144 = 12 सेमी.

Q3. 7 सेमी, 24 सेमी, 25 सेमी बाजूंचा त्रिकोण काटकोन त्रिकोण आहे का?

7² + 24² = 49 + 576 = 625 = 25². सर्वांत मोठ्या बाजूचा वर्ग इतर दोघांच्या वर्गांच्या बेरजेइतका आहे, म्हणून हा काटकोन त्रिकोण आहे.

Q4. 10 मी लांबीची शिडी भिंतीला टेकवली आहे. शिडीचे खालचे टोक भिंतीपासून 6 मी दूर आहे. शिडी भिंतीला किती उंचीवर टेकते?

शिडी हा कर्ण. उंची² = 10² − 6² = 100 − 36 = 64. उंची = √64 = 8 मी.

Q5. 5 सेमी, 6 सेमी, 8 सेमी बाजूंचा त्रिकोण काटकोन आहे का? पायथागोरसचे दोन त्रिकूट लिहा.

5² + 6² = 25 + 36 = 61, पण 8² = 64. 61 ≠ 64, म्हणून काटकोन त्रिकोण नाही. त्रिकूट: (3, 4, 5) व (8, 15, 17).

परीक्षेसाठी टीप

आधी कर्ण कोणता ते ओळखा (काटकोनासमोरील, सर्वांत मोठी बाजू); कर्ण काढताना बेरीज, बाजू काढताना वजाबाकी.

थोडक्यात सारांश

बैजिक राशींचा गुणाकार पदांच्या बेरजेच्या रूपात लिहिणे म्हणजे विस्तार. या पाठात बेरजेचा वर्ग, वजाबाकीचा वर्ग व (a + b)(a − b) यांची सूत्रे, त्यांच्या साहाय्याने झटपट आकडेमोड आणि बैजिक राशींचे अवयव पाडणे शिकतो.

महत्त्वाचे मुद्दे

• (a + b)² हे (a + b) बाजूच्या चौरसाने दाखवता येते; त्यात a², b² व ab क्षेत्रफळाचे दोन आयत असतात.
• (a − b)² हे a बाजूच्या चौरसातून भाग काढून दाखवता येते.
• सूत्रांमुळे तोंडी आकडेमोड सोपी होते: 102² = (100 + 2)², 97² = (100 − 3)².
• (a + b)(a − b) = a² − b²; म्हणून 102 × 98 = 100² − 2² = 9996.
• अवयव पाडणे म्हणजे राशी तिच्या अवयवांच्या गुणाकाराच्या रूपात लिहिणे. आधी सामाईक अवयव बाहेर काढावा: 9a²bc + 12abc² = 3abc(3a + 4c).
• दोन वर्गांच्या फरकाचे अवयव: a² − b² = (a + b)(a − b).

महत्त्वाच्या संज्ञा

• विस्तार – बैजिक राशींचा गुणाकार पदांच्या बेरजेत लिहिणे.
• द्‌विपदी – दोन पदे असलेली राशी.
• अवयव – दिलेल्या राशीला निःशेष भाग देणारी राशी.
• अवयव पाडणे – राशी अवयवांच्या गुणाकाररूपात लिहिणे.

सूत्रे

• (a + b)² = a² + 2ab + b²
• (a − b)² = a² − 2ab + b²
• (a + b)(a − b) = a² − b²
• a² − b² = (a + b)(a − b)

५ महत्त्वाचे प्रश्न

Q1. विस्तार करा: (2x + 3)².

(a + b)² सूत्राने: (2x)² + 2(2x)(3) + 3² = 4x² + 12x + 9.

Q2. विस्तार करा: (3a − 2b)².

(a − b)² सूत्राने: (3a)² − 2(3a)(2b) + (2b)² = 9a² − 12ab + 4b².

Q3. सूत्र वापरून किंमत काढा: 102² आणि 97².

102² = (100 + 2)² = 10000 + 400 + 4 = 10404. 97² = (100 − 3)² = 10000 − 600 + 9 = 9409.

Q4. सूत्र वापरून गुणाकार करा: 54 × 46.

54 × 46 = (50 + 4)(50 − 4) = 50² − 4² = 2500 − 16 = 2484.

Q5. अवयव पाडा: (अ) 9a²bc + 12abc² (ब) 25m² − 16n².

(अ) सामाईक अवयव 3abc: 3abc(3a + 4c). (ब) (5m)² − (4n)² = (5m + 4n)(5m − 4n).

परीक्षेसाठी टीप

मधले पद 2ab लिहिणे विसरू नका; (a − b)² मध्ये फक्त मधले पद ऋण असते, शेवटचे b² धनच असते.

थोडक्यात सारांश

सांख्यिकीच्या साहाय्याने आपण माहिती गोळा करून ती समजून घेतो. या पाठात प्राप्तांकांची सरासरी काढणे आणि ताळ्याच्या खुणा वापरून माहिती वारंवारता वितरण सारणीत मांडणे शिकतो.

महत्त्वाचे मुद्दे

• माहितीत मिळणाऱ्या प्रत्येक नोंदीला प्राप्तांक म्हणतात.
• सरासरी = सर्व प्राप्तांकांची बेरीज ÷ प्राप्तांकांची संख्या. सरासरी संपूर्ण माहितीचे प्रतिनिधित्व करणारी एक संख्या देते.
• प्राप्तांक पूर्ण संख्या असले तरी सरासरी अपूर्णांक किंवा दशांश असू शकते.
• सरासरी काढण्यापूर्वी सर्व प्राप्तांक एकाच एककात (उदा. किमी चे मीटर) करावेत.
• वारंवारता: एखादा प्राप्तांक माहितीत किती वेळा आला ती संख्या.
• वारंवारता वितरण सारणीत तीन स्तंभ असतात: प्राप्तांक, ताळ्याच्या खुणा, वारंवारता.
• पहिल्या स्तंभात प्राप्तांक चढत्या क्रमाने लिहावेत; प्रत्येक नोंदीसाठी एक ताळ्याची खूण करावी; पाचवी खूण आधीच्या चार खुणांना छेदून (गठ्ठा) काढावी, म्हणजे मोजणे सोपे होते.
• सर्व वारंवारतांची बेरीज N ने दाखवतात; ती एकूण प्राप्तांकांच्या संख्येइतकी असते.

महत्त्वाच्या संज्ञा

• सामग्री (माहिती) – संख्यात्मक माहितीचा संग्रह.
• प्राप्तांक – माहितीतील प्रत्येक नोंद.
• सरासरी – प्राप्तांकांच्या बेरजेला त्यांच्या संख्येने भागून मिळणारी संख्या.
• वारंवारता – एखादा प्राप्तांक किती वेळा आला ती संख्या.
• ताळ्याची खूण – प्रत्येक नोंद मोजण्यासाठी काढलेली उभी रेघ.

सूत्रे

• सरासरी = (सर्व प्राप्तांकांची बेरीज) ÷ (प्राप्तांकांची एकूण संख्या)
• प्राप्तांकांची बेरीज = सरासरी × प्राप्तांकांची संख्या
• N = सर्व वारंवारतांची बेरीज

५ महत्त्वाचे प्रश्न

Q1. सरासरी काढा: 32, 35, 40, 37, 31.

बेरीज = 32 + 35 + 40 + 37 + 31 = 175. सरासरी = 175 ÷ 5 = 35.

Q2. वारंवारता म्हणजे काय?

दिलेल्या माहितीत एखादा प्राप्तांक जितक्या वेळा येतो, ती संख्या म्हणजे त्या प्राप्तांकाची वारंवारता.

Q3. 6 संख्यांची सरासरी 24 आहे. आणखी एक संख्या मिळवल्यावर सरासरी 25 होते. ती संख्या कोणती?

6 संख्यांची बेरीज = 24 × 6 = 144. 7 संख्यांची बेरीज = 25 × 7 = 175. नवी संख्या = 175 − 144 = 31.

Q4. 20 विद्यार्थ्यांचे 10 पैकी गुण: 6, 7, 5, 8, 7, 6, 9, 7, 8, 6, 7, 5, 10, 8, 7, 6, 9, 7, 8, 6. वारंवारता सारणी तयार करा.

N = 2 + 5 + 6 + 4 + 2 + 1 = 20. (वहीत मधल्या स्तंभात ताळ्याच्या खुणा काढाव्यात; उदा. 6 साठी चार रेघा व त्यांना छेदणारी पाचवी रेघ.)

Q5. वरील सारणीवरून: सर्वाधिक विद्यार्थ्यांना किती गुण मिळाले? 8 पेक्षा जास्त गुण किती जणांना?

सर्वाधिक वारंवारता 6 असलेला प्राप्तांक 7, म्हणून सर्वाधिक विद्यार्थ्यांना 7 गुण. 8 पेक्षा जास्त: 9 गुण 2 जण + 10 गुण 1 जण = 3 विद्यार्थी.

परीक्षेसाठी टीप

वारंवारता सारणीत शेवटी N लिहा व ती एकूण प्राप्तांकांइतकी आहे ना याचा पडताळा करा.