गणित Mathematics

थोडक्यात सारांश

रेषेला फक्त लांबी असते (एकमितीय), सपाट आकृतीला लांबी व रुंदी असते (द्विमितीय), तर वीट, डबा, चेंडू अशा वस्तूंना लांबी, रुंदी आणि उंची असते (त्रिमितीय). या पाठात चिती, सूची, वृत्तचिती, शंकू आणि गोल या त्रिमितीय आकारांची पृष्ठे, कडा आणि शिरोबिंदू मोजायला शिकतो.

महत्त्वाचे मुद्दे

• अनेक सरळ बाजूंनी बंद झालेली सपाट आकृती म्हणजे बहुभुजाकृती.
• त्रिमितीय आकाराचे घटक: पृष्ठ (सपाट किंवा वक्र भाग), कडा (दोन पृष्ठे जिथे मिळतात तो रेषाखंड) आणि शिरोबिंदू (कोपरा).
• एकसारखे आकार एकमेकांवर रचल्यावर चिती तयार होते: त्रिकोण रचले तर त्रिकोणी चिती, आयत रचले तर इष्टिकाचिती (चौकोनी चिती).
• समान वर्तुळे रचल्यावर वृत्तचिती (दंडगोल) तयार होते – २ वर्तुळाकार पृष्ठे व १ वक्र पृष्ठ.
• उभी पृष्ठे त्रिकोणी असून वर एका बिंदूत मिळतात ते आकार सूची (पिरॅमिड, तंबू).
• शंकू (वृत्तसूची) – १ वर्तुळाकार पृष्ठ, १ वक्र पृष्ठ, १ शिरोबिंदू.
• गोल (चेंडू, लाडू) – फक्त एक वक्र पृष्ठ; कडा व शिरोबिंदू नसतात.

महत्त्वाच्या संज्ञा

• त्रिमितीय आकार – लांबी, रुंदी व उंची असलेला आकार.
• पृष्ठ – आकाराचा सपाट किंवा वक्र भाग.
• कडा – दोन पृष्ठांना जोडणारा सामाईक रेषाखंड.
• शिरोबिंदू – कडा मिळतात तो बिंदू.

सूत्रे

५ महत्त्वाचे प्रश्न

Q1. एकमितीय, द्विमितीय व त्रिमितीय यांची प्रत्येकी एक उदाहरणे द्या.

एकमितीय – रेषा; द्विमितीय – चौरस (टेबलाचा पृष्ठभाग); त्रिमितीय – वीट.

Q2. इष्टिकाचितीला किती पृष्ठे, कडा व शिरोबिंदू असतात?

६ पृष्ठे, १२ कडा आणि ८ शिरोबिंदू.

Q3. गोलाला कडा व शिरोबिंदू का नसतात?

गोलाला एकच वक्र पृष्ठ असते; दोन पृष्ठे मिळत नाहीत, म्हणून कडा व शिरोबिंदू तयार होत नाहीत.

Q4. चौकोनी सूचीसाठी पृष्ठे + शिरोबिंदू − कडा किती येते?

पृष्ठे ५, शिरोबिंदू ५, कडा ८. म्हणून ५ + ५ − ८ = २.

Q5. चिती व सूची यांत फरक काय?

चितीमध्ये एकसारखे तळ एकमेकांवर रचलेले असतात व उभी पृष्ठे आयताकृती असतात. सूचीची उभी पृष्ठे त्रिकोणी असून ती वर एका शिरोबिंदूत मिळतात.

परीक्षेसाठी टीप

प्रत्येक आकाराची पृष्ठे, कडा, शिरोबिंदू यांचा तक्ता पाठ करा आणि घरातील वस्तू त्या आकारांशी जोडा.

थोडक्यात सारांश

भूमितीची सुरुवात बिंदू, रेषा, रेषाखंड, किरण आणि प्रतल यांपासून होते. सामाईक आरंभबिंदू असलेल्या दोन किरणांनी कोन तयार होतो. या पाठात या संज्ञा आणि कोनांचे प्रकार – शून्यकोन, लघुकोन, काटकोन, विशालकोन, सरळकोन व पूर्णकोन – शिकतो.

महत्त्वाचे मुद्दे

• बिंदू एखादे स्थान दाखवतो; त्याला कॅपिटल अक्षराने नाव देतात (बिंदू P).
• रेषा दोन्ही बाजूंना अमर्याद वाढते; तिच्यावर असंख्य बिंदू असतात (रेषा AB किंवा रेषा l).
• तीन किंवा अधिक बिंदूंतून एकच रेषा जात असेल तर ते एकरेषीय बिंदू; जात नसेल तर नैकरेषीय बिंदू.
• रेषेचा बिंदू P पासून Q पर्यंतचा भाग म्हणजे रेषाखंड (रेख PQ). त्याला दोन अंत्यबिंदू असतात.
• किरण एका बिंदूपासून सुरू होऊन एका दिशेने अमर्याद जातो (किरण AB; आरंभबिंदू A).
• सर्व दिशांना अमर्याद पसरलेला सपाट पृष्ठभाग म्हणजे प्रतल.
• सामाईक आरंभबिंदू असलेल्या दोन किरणांनी कोन होतो. किरण म्हणजे कोनाच्या भुजा, सामाईक बिंदू म्हणजे कोनाचा शिरोबिंदू.
• कोनाचे नाव लिहिताना शिरोबिंदू मधे लिहितात: ∠AOB किंवा ∠BOA.
• कोन कोनमापकाने अंशांत (°) मोजतात.

महत्त्वाच्या संज्ञा

• रेषाखंड – रेषेचा दोन बिंदूंमधील भाग.
• किरण – एका बिंदूपासून एका दिशेने अमर्याद जाणारा भाग.
• प्रतल – अमर्याद सपाट पृष्ठभाग.
• कोनमापक – कोन मोजण्याचे साधन.

सूत्रे

५ महत्त्वाचे प्रश्न

Q1. रेषा व रेषाखंड यांत फरक काय?

रेषा दोन्ही बाजूंना अमर्याद असते, तिची लांबी मोजता येत नाही. रेषाखंडाला दोन अंत्यबिंदू असतात आणि त्याची लांबी मोजता येते.

Q2. एकरेषीय बिंदू म्हणजे काय?

तीन किंवा अधिक बिंदूंतून एकच रेषा जात असेल तर त्यांना एकरेषीय बिंदू म्हणतात.

Q3. ३५°, ९०°, १२०°, १८०° हे कोन कोणत्या प्रकारचे आहेत?

३५° – लघुकोन; ९०° – काटकोन; १२०° – विशालकोन; १८०° – सरळकोन.

Q4. ∠PQR मध्ये शिरोबिंदू व भुजा कोणत्या?

शिरोबिंदू Q; भुजा किरण QP व किरण QR.

Q5. किरणाचे रोजच्या जीवनातील उदाहरण द्या.

सूर्यकिरण, बॅटरीचा प्रकाशझोत – एका ठिकाणापासून सुरू होऊन एका दिशेने पुढे जातात.

परीक्षेसाठी टीप

कोनाचे नाव लिहिताना शिरोबिंदूचे अक्षर नेहमी मधे लिहा; कोनांचे प्रकार मापांसह लक्षात ठेवा.

थोडक्यात सारांश

मोजण्यासाठी वापरतो त्या नैसर्गिक संख्या, त्यांत शून्य मिळवले की पूर्ण संख्या, आणि धन संख्या, शून्य व ऋण संख्या मिळून पूर्णांक संख्या तयार होतात. या पाठात मोठ्या संख्यांचे वाचन, ऋण संख्या, विरुद्ध संख्या आणि पूर्णांक संख्यांची बेरीज-वजाबाकी शिकतो.

महत्त्वाचे मुद्दे

• मोजसंख्यांनाच नैसर्गिक संख्या म्हणतात: १, २, ३, …
• नैसर्गिक संख्यांत शून्य मिळवल्यावर पूर्ण संख्या समूह तयार होतो: ०, १, २, ३, …
• शून्य, सर्व धन संख्या व सर्व ऋण संख्या मिळून पूर्णांक संख्या समूह: … −३, −२, −१, ०, १, २, ३ …
• शून्यापेक्षा कमी तापमान (−४० °C), जमिनीखालचा मजला (−२), पाण्याची पातळी खाली जाणे यांसाठी ऋण संख्या वापरतात.
• संख्यारेषेवर उजवीकडील संख्या मोठी: (+२) > (−३), ० > (−१), (−१) > (−२).
• शून्यापासून विरुद्ध बाजूंना सारख्या अंतरावरील संख्या म्हणजे विरुद्ध संख्या (५ व −५). त्यांची बेरीज ० असते.
• समान चिन्हांच्या संख्यांची बेरीज: संख्यांची बेरीज करून तेच चिन्ह द्या.
• भिन्न चिन्हांच्या संख्यांची बेरीज: मोठ्या संख्येतून लहान वजा करा आणि मोठ्या संख्येचे चिन्ह द्या.
• एका संख्येतून दुसरी वजा करणे म्हणजे दुसऱ्या संख्येची विरुद्ध संख्या पहिल्या संख्येत मिळवणे.

महत्त्वाच्या संज्ञा

• नैसर्गिक संख्या – १ पासून सुरू होणाऱ्या मोजसंख्या.
• पूर्ण संख्या – शून्यासह नैसर्गिक संख्या.
• पूर्णांक संख्या – धन, ऋण संख्या आणि शून्य.
• विरुद्ध संख्या – बेरीज शून्य होणारी संख्यांची जोडी.

सूत्रे

• a + (−a) = ०
• a − b = a + (−b)
• (+) + (+) = (+); (−) + (−) = (−)

५ महत्त्वाचे प्रश्न

Q1. पूर्णांक संख्या समूह म्हणजे काय?

शून्य, सर्व धन संख्या आणि सर्व ऋण संख्या मिळून जो समूह तयार होतो तो पूर्णांक संख्या समूह.

Q2. −७ ची विरुद्ध संख्या कोणती? त्यांची बेरीज किती?

−७ ची विरुद्ध संख्या +७. बेरीज (−७) + (+७) = ०.

Q3. (−८) + (+३) सोडवा.

चिन्हे भिन्न आहेत. ८ − ३ = ५. मोठी संख्या ८ ऋण आहे, म्हणून उत्तर = −५.

Q4. (+४) − (−२) सोडवा.

(−२) ची विरुद्ध संख्या (+२). म्हणून (+४) + (+२) = ६.

Q5. चढत्या क्रमाने लिहा: ३, −५, ०, −१, ४.

−५, −१, ०, ३, ४.

परीक्षेसाठी टीप

वजाबाकीचे प्रश्न सोडवताना आधी ‘विरुद्ध संख्या मिळवा’ हा नियम वापरा; चिन्हांच्या चुका टळतात.

थोडक्यात सारांश

संख्या आणि आकृत्यांमध्ये ठरावीक नियमाने होणारी पुनरावृत्ती म्हणजे आकृतिबंध. या पाठात सम-विषम संख्या, मूळ, सहमूळ व जोडमूळ संख्या, त्रिकोणी संख्या, चौरस संख्या, घन संख्या आणि निसर्गातील फ्रॅक्टल्स यांचे आकृतिबंध शिकतो.

महत्त्वाचे मुद्दे

• सम संख्या २, ४, ६, …; विषम संख्या १, ३, ५, …
• चौरस संख्या: १, ४, ९, १६, २५ … (१×१, २×२, ३×३ …). पहिल्या n विषम संख्यांची बेरीज = n².
• घन संख्या: १, ८, २७, ६४ … (१×१×१, २×२×२ …).
• त्रिकोणी संख्या: १, ३, ६, १०, १५ … (ठिपके त्रिकोणात मांडता येतात).
• ज्या संख्येला फक्त १ व ती संख्या असे दोनच विभाजक असतात ती मूळ संख्या. २ ही सर्वांत लहान व एकमेव सम मूळ संख्या.
• ज्या दोन मूळ संख्यांमधील फरक २ असतो त्या जोडमूळ संख्या (३ व ५, ११ व १३).
• ज्या दोन संख्यांचा सामाईक विभाजक फक्त १ असतो त्या सहमूळ संख्या (८ व ९).
• फ्रॅक्टल्स – ज्या आकाराचा प्रत्येक लहान भाग संपूर्ण आकारासारखाच दिसतो (नेच्याचे पान, फुलकोबी). हा शब्द बेनॉइट मँडेलब्रॉट यांनी १९७५ साली रूढ केला.

महत्त्वाच्या संज्ञा

• आकृतिबंध – ठरावीक नियमाने होणारी मांडणी.
• जोडमूळ संख्या – फरक २ असलेल्या मूळ संख्यांची जोडी.
• सहमूळ संख्या – सामाईक विभाजक फक्त १ असलेल्या संख्या.
• फ्रॅक्टल – स्वतःसारख्याच लहान भागांनी बनलेला आकार.

सूत्रे

• n वी चौरस संख्या = n × n = n²
• n वी घन संख्या = n × n × n
• n वी त्रिकोणी संख्या = n × (n + १) ÷ २
• १ + ३ + ५ + … (n विषम संख्या) = n²

५ महत्त्वाचे प्रश्न

Q1. १ ते २० मधील जोडमूळ संख्यांच्या जोड्या लिहा.

(३, ५), (५, ७), (११, १३), (१७, १९).

Q2. पुढील दोन संख्या लिहा: १, ३, ६, १०, …

या त्रिकोणी संख्या आहेत; फरक २, ३, ४ असा वाढतो. पुढील संख्या १० + ५ = १५ आणि १५ + ६ = २१.

Q3. पहिल्या ६ विषम संख्यांची बेरीज न मिळवता सांगा.

बेरीज = n² = ६² = ३६. (तपासणी: १+३+५+७+९+११ = ३६)

Q4. ७ वी त्रिकोणी संख्या काढा.

७ × (७ + १) ÷ २ = ७ × ८ ÷ २ = २८.

Q5. सहमूळ संख्यांचे एक उदाहरण देऊन स्पष्ट करा.

८ व ९: ८ चे विभाजक १, २, ४, ८; ९ चे विभाजक १, ३, ९. सामाईक विभाजक फक्त १, म्हणून त्या सहमूळ आहेत.

परीक्षेसाठी टीप

मालिकेतील पुढील संख्या शोधताना आधी दोन लगतच्या संख्यांतील फरक तपासा.

थोडक्यात सारांश

एखाद्या संख्येला पूर्ण भाग जाणाऱ्या संख्या म्हणजे तिचे विभाजक. या पाठात विभाजक व विभाज्य, मूळ अवयव, विभाज्यतेच्या कसोट्या, आणि दिलेल्या संख्यांचा महत्तम सामाईक विभाजक (म.सा.वि.) व लघुत्तम सामाईक विभाज्य (ल.सा.वि.) काढण्याच्या पद्धती शिकतो.

महत्त्वाचे मुद्दे

• १२ ÷ ३ = ४ मध्ये ३ हा १२ चा विभाजक, आणि १२ ही ३ ची विभाज्य संख्या.
• संख्येचे मूळ संख्यांच्या गुणाकारात लिहिलेले अवयव म्हणजे मूळ अवयव: १२ = २ × २ × ३.
• विभाज्यतेच्या कसोट्या: २ – एककस्थानी सम अंक; ३ – अंकांची बेरीज ३ ने विभाज्य; ५ – एककस्थानी ० किंवा ५; ९ – अंकांची बेरीज ९ ने विभाज्य; १० – एककस्थानी ०.
• म.सा.वि. – दिलेल्या सर्व संख्यांना पूर्ण भाग जाणारी सर्वांत मोठी संख्या. सामाईक मूळ अवयवांचा गुणाकार.
• ल.सा.वि. – दिलेल्या सर्व संख्यांनी पूर्ण भाग जाणारी सर्वांत लहान संख्या. सामाईक व उरलेल्या सर्व मूळ अवयवांचा गुणाकार.
• ‘जास्तीत जास्त समान भाग’ अशा प्रश्नांत म.सा.वि., ‘पुन्हा एकत्र केव्हा’ अशा प्रश्नांत ल.सा.वि. वापरतात.

महत्त्वाच्या संज्ञा

• विभाजक – पूर्ण भाग जाणारी संख्या.
• मूळ अवयव – मूळ संख्यांच्या रूपातील अवयव.
• म.सा.वि. – महत्तम सामाईक विभाजक.
• ल.सा.वि. – लघुत्तम सामाईक विभाज्य.

सूत्रे

• दोन संख्या a व b साठी: म.सा.वि. × ल.सा.वि. = a × b

५ महत्त्वाचे प्रश्न

Q1. ३६ चे मूळ अवयव लिहा.

३६ = २ × २ × ३ × ३.

Q2. ४५७२ ही संख्या ३ ने विभाज्य आहे का?

अंकांची बेरीज ४ + ५ + ७ + २ = १८. १८ ला ३ ने भाग जातो, म्हणून ४५७२ ही ३ ने विभाज्य आहे.

Q3. १८ व २४ यांचा म.सा.वि. व ल.सा.वि. काढा.

१८ = २ × ३ × ३; २४ = २ × २ × २ × ३. सामाईक अवयव २ × ३, म्हणून म.सा.वि. = ६. ल.सा.वि. = २ × २ × २ × ३ × ३ = ७२. तपासणी: ६ × ७२ = ४३२ = १८ × २४.

Q4. ४८ सेमी व ७२ सेमी लांबीच्या दोन फिती समान व जास्तीत जास्त लांबीच्या तुकड्यांत कापायच्या आहेत. प्रत्येक तुकडा किती लांब?

म.सा.वि. काढू: ४८ = २⁴ × ३, ७२ = २³ × ३². म.सा.वि. = २³ × ३ = २४. प्रत्येक तुकडा २४ सेमी.

Q5. दोन घंटा ६ मिनिटांनी व ८ मिनिटांनी वाजतात. एकत्र वाजल्यानंतर पुन्हा केव्हा एकत्र वाजतील?

६ व ८ चा ल.सा.वि. = २४. म्हणून २४ मिनिटांनी पुन्हा एकत्र वाजतील.

परीक्षेसाठी टीप

शब्दकोड्यात ‘सर्वांत मोठा समान भाग’ असेल तर म.सा.वि., ‘पुन्हा एकाच वेळी’ असेल तर ल.सा.वि. – हे ओळखणे महत्त्वाचे.

थोडक्यात सारांश

एखाद्या पूर्ण वस्तूच्या समान भागांपैकी काही भाग दाखवण्यासाठी अपूर्णांक वापरतात. या पाठात अंश-छेद, सममूल्य अपूर्णांक, अपूर्णांकांची तुलना, पूर्णांकयुक्त अपूर्णांक आणि अपूर्णांकांची बेरीज-वजाबाकी शिकतो.

महत्त्वाचे मुद्दे

• a/b या अपूर्णांकात a हा अंश आणि b हा छेद (b ≠ ०).
• अंश छेदापेक्षा मोठा असेल तर तो अंशाधिक अपूर्णांक (७/४). ज्या अपूर्णांकांचे छेद समान असतात ते समच्छेद अपूर्णांक (२/७, ५/७).
• पूर्णांक आणि अपूर्णांक मिळून पूर्णांकयुक्त अपूर्णांक होतो: २ १/३ = ७/३.
• अंश व छेद यांना एकाच संख्येने गुणल्यास/भागल्यास सममूल्य अपूर्णांक मिळतो: १/२ = २/४ = ३/६.
• तुलना करताना छेद समान करा, मग ज्याचा अंश मोठा तो अपूर्णांक मोठा.
• बेरीज-वजाबाकी: छेदांचा ल.सा.वि. काढा, सममूल्य अपूर्णांक लिहा, मग अंशांची बेरीज/वजाबाकी करा.
• उत्तर नेहमी अतिसंक्षिप्त रूपात लिहा (अंश-छेदांना त्यांच्या म.सा.वि.ने भागा).

महत्त्वाच्या संज्ञा

• अंश – घेतलेले भाग.
• छेद – पूर्ण वस्तूचे एकूण समान भाग.
• सममूल्य अपूर्णांक – किंमत समान असलेले अपूर्णांक.
• पूर्णांकयुक्त अपूर्णांक – पूर्णांक व अपूर्णांक यांची जोड.
• अंशाधिक अपूर्णांक – अंश छेदापेक्षा मोठा असलेला अपूर्णांक.

सूत्रे

• a/c + b/c = (a + b)/c
• a/b + c/d = (a × d + b × c)/(b × d)
• p q/r = (p × r + q)/r

५ महत्त्वाचे प्रश्न

Q1. ११/४ हा अपूर्णांक पूर्णांकयुक्त रूपात लिहा.

११ ÷ ४ = २ बाकी ३. म्हणून ११/४ = २ ३/४.

Q2. २/३ व ३/४ यांपैकी मोठा अपूर्णांक कोणता?

छेद १२ करू: २/३ = ८/१२, ३/४ = ९/१२. ९/१२ मोठा, म्हणून ३/४ मोठा.

Q3. ५/६ + १/४ सोडवा.

छेद ६ व ४ चा ल.सा.वि. १२. ५/६ = १०/१२, १/४ = ३/१२. बेरीज = १३/१२ = १ १/१२.

Q4. ७/८ − ५/१२ सोडवा.

ल.सा.वि. २४. ७/८ = २१/२४, ५/१२ = १०/२४. वजाबाकी = ११/२४.

Q5. रमाने केकचा २/५ भाग खाल्ला, सोहमने १/३ भाग खाल्ला. दोघांनी मिळून किती भाग खाल्ला?

२/५ + १/३ = ६/१५ + ५/१५ = ११/१५. दोघांनी केकचा ११/१५ भाग खाल्ला.

परीक्षेसाठी टीप

बेरीज/वजाबाकीनंतर उत्तर संक्षिप्त करायला विसरू नका; अंशाधिक उत्तर पूर्णांकयुक्त रूपात लिहा.

थोडक्यात सारांश

दोन एकाच प्रकारच्या राशींची भागाकाराने केलेली तुलना म्हणजे गुणोत्तर. दोन गुणोत्तरे समान असतील तर ती प्रमाणात आहेत असे म्हणतात. या पाठात गुणोत्तर लिहिणे, संक्षिप्त करणे, प्रमाण आणि एकमान पद्धत शिकतो.

महत्त्वाचे मुद्दे

• a व b यांचे गुणोत्तर a : b असे लिहितात आणि ते a/b एवढे असते.
• गुणोत्तर काढताना दोन्ही राशी एकाच एककात असाव्यात (उदा. दोन्ही सेमीमध्ये).
• गुणोत्तराला एकक नसते.
• क्रम महत्त्वाचा: २ : ३ आणि ३ : २ ही वेगळी गुणोत्तरे आहेत.
• अपूर्णांकाप्रमाणे गुणोत्तर संक्षिप्त करता येते: १२ : १८ = २ : ३.
• दोन गुणोत्तरे समान असल्यास ती प्रमाणात असतात: २ : ३ = ४ : ६.
• एकमान पद्धत: आधी एका वस्तूची किंमत भागाकाराने काढा, मग हव्या तितक्या वस्तूंची किंमत गुणाकाराने काढा.

महत्त्वाच्या संज्ञा

• गुणोत्तर – दोन राशींची भागाकाराने तुलना.
• प्रमाण – दोन गुणोत्तरांची समानता.
• एकमान पद्धत – एका वस्तूच्या किमतीवरून अनेकांची किंमत काढणे.

सूत्रे

• a : b = a/b (समान एकक, उत्तराला एकक नाही)
• a : b = c : d असेल तर a × d = b × c
• अनेक वस्तूंची किंमत = एका वस्तूची किंमत × वस्तूंची संख्या

५ महत्त्वाचे प्रश्न

Q1. ५० पैसे व २ रुपये यांचे गुणोत्तर काढा.

एकक समान करू: २ रुपये = २०० पैसे. ५० : २०० = १ : ४.

Q2. ३ : ५ व १२ : २० प्रमाणात आहेत का?

१२ : २० = (१२ ÷ ४) : (२० ÷ ४) = ३ : ५. म्हणून ती प्रमाणात आहेत.

Q3. ६ वह्यांची किंमत १८० रुपये आहे, तर १० वह्यांची किंमत किती?

एका वहीची किंमत = १८० ÷ ६ = ३० रुपये. १० वह्या = ३० × १० = ३०० रुपये.

Q4. वर्गात २४ मुले व १८ मुली आहेत. मुलांचे मुलींशी गुणोत्तर लिहा.

२४ : १८ = (२४ ÷ ६) : (१८ ÷ ६) = ४ : ३.

Q5. ४ : ७ = x : २१ असल्यास x काढा.

४ × २१ = ७ × x, म्हणून ८४ = ७x, x = १२.

परीक्षेसाठी टीप

गुणोत्तर काढण्यापूर्वी एकके समान करा; उत्तरात एकक लिहू नका.

थोडक्यात सारांश

तीन रेषाखंडांनी बंद झालेली आकृती त्रिकोण आणि चार रेषाखंडांनी बंद झालेली आकृती चौकोन. या पाठात बाजूंवरून व कोनांवरून त्रिकोणांचे प्रकार आणि चौकोनाचे घटक – संमुख बाजू, लगतच्या बाजू, संमुख कोन, लगतचे कोन आणि कर्ण – शिकतो.

महत्त्वाचे मुद्दे

• त्रिकोणाला ३ बाजू, ३ शिरोबिंदू व ३ कोन असतात.
• बाजूंवरून: तिन्ही बाजू समान – समभुज त्रिकोण; दोन बाजू समान – समद्विभुज त्रिकोण; तिन्ही बाजू भिन्न – विषमभुज त्रिकोण.
• कोनांवरून: तिन्ही कोन लघुकोन – लघुकोन त्रिकोण; एक कोन काटकोन – काटकोन त्रिकोण; एक कोन विशालकोन – विशालकोन त्रिकोण.
• त्रिकोणाच्या तिन्ही कोनांच्या मापांची बेरीज १८०° असते.
• चौकोनाला ४ बाजू, ४ शिरोबिंदू, ४ कोन असतात.
• ज्या दोन बाजूंमध्ये सामाईक शिरोबिंदू नसतो त्या संमुख बाजू (□ABCD मध्ये AB व DC; AD व BC) – दोन जोड्या.
• सामाईक शिरोबिंदू असलेल्या दोन बाजू लगतच्या बाजू – चार जोड्या.
• संमुख कोन: ∠A व ∠C, ∠B व ∠D – दोन जोड्या. लगतचे कोन – चार जोड्या.
• संमुख शिरोबिंदू जोडणारे रेषाखंड म्हणजे कर्ण (रेख AC व रेख BD).

महत्त्वाच्या संज्ञा

• समद्विभुज त्रिकोण – दोन बाजू समान असलेला त्रिकोण.
• विषमभुज त्रिकोण – तिन्ही बाजू भिन्न लांबीच्या.
• संमुख बाजू – सामाईक शिरोबिंदू नसलेल्या बाजू.
• कर्ण – संमुख शिरोबिंदू जोडणारा रेषाखंड.

सूत्रे

• त्रिकोणाच्या तीन कोनांची बेरीज = १८०°
• चौकोनाच्या चार कोनांची बेरीज = ३६०°
• चौकोनाला कर्ण = २

५ महत्त्वाचे प्रश्न

Q1. ५ सेमी, ५ सेमी, ७ सेमी बाजू असलेला त्रिकोण कोणत्या प्रकारचा?

दोन बाजू समान आहेत, म्हणून तो समद्विभुज त्रिकोण आहे.

Q2. ज्या त्रिकोणाचा एक कोन ११०° आहे, तो कोणत्या प्रकारचा?

११०° हा विशालकोन आहे, म्हणून तो विशालकोन त्रिकोण आहे.

Q3. त्रिकोणाचे दोन कोन ५०° व ६०° आहेत. तिसरा कोन काढा.

तिसरा कोन = १८०° − (५०° + ६०°) = १८०° − ११०° = ७०°.

Q4. □PQRS मधील संमुख बाजूंच्या व संमुख कोनांच्या जोड्या लिहा.

संमुख बाजू: PQ व SR; PS व QR. संमुख कोन: ∠P व ∠R; ∠Q व ∠S.

Q5. □ABCD चे कर्ण कोणते?

संमुख शिरोबिंदू जोडणारे रेख AC आणि रेख BD.

परीक्षेसाठी टीप

चौकोनाचे नाव शिरोबिंदूंच्या क्रमाने लिहा (□ABCD); त्याच क्रमावरून संमुख व लगतच्या जोड्या ओळखा.

थोडक्यात सारांश

अज्ञात संख्येसाठी x, y, m सारखे अक्षर वापरतात; त्याला चल म्हणतात. ‘=’ चिन्हाने दोन्ही बाजू समान आहेत असे दाखवणारे विधान म्हणजे समीकरण. या पाठात समानतेचे गुणधर्म वापरून सोपी एकचल समीकरणे सोडवायला आणि उकल तपासायला शिकतो.

महत्त्वाचे मुद्दे

• कंस असलेल्या उदाहरणात आधी कंसातील क्रिया, मग भागाकार, गुणाकार, बेरीज, वजाबाकी या क्रमाने सोडवतात.
• अज्ञात संख्येसाठी वापरलेले अक्षर म्हणजे चल (variable).
• अक्षरांचा उपयोग सूत्र किंवा नियम लिहिण्यासाठीही होतो (उदा. चौरसाची परिमिती = ४ × l).
• डावी बाजू = उजवी बाजू असे दाखवणारे विधान म्हणजे समीकरण, उदा. x + ५ = १२. तराजूच्या दोन्ही बाजू संतुलित असल्याप्रमाणे.
• दोन्ही बाजूंना तीच संख्या मिळवली, वजा केली, गुणली किंवा शून्येतर संख्येने भागली तरी समानता टिकते.
• समीकरण खरे करणारी चलाची किंमत म्हणजे उकल.
• उकल मिळाल्यावर ती समीकरणात ठेवून पडताळा घ्यावा.

महत्त्वाच्या संज्ञा

• चल – अज्ञात संख्येसाठी वापरलेले अक्षर.
• समीकरण – ‘=’ चिन्ह असलेले समानतेचे विधान.
• उकल – समीकरण खरे करणारी चलाची किंमत.
• पडताळा – उत्तर बरोबर आहे का हे तपासणे.

सूत्रे

• a = b असेल तर a + c = b + c, a − c = b − c, a × c = b × c, a ÷ c = b ÷ c (c ≠ ०)

५ महत्त्वाचे प्रश्न

Q1. चल म्हणजे काय?

ज्या संख्येची किंमत माहीत नाही तिच्यासाठी वापरलेले x, y, m यांसारखे अक्षर म्हणजे चल.

Q2. x + ७ = १५ सोडवा.

दोन्ही बाजूंतून ७ वजा करू: x + ७ − ७ = १५ − ७, म्हणून x = ८. पडताळा: ८ + ७ = १५.

Q3. ४m = ३६ सोडवा.

दोन्ही बाजूंना ४ ने भागू: m = ३६ ÷ ४ = ९. पडताळा: ४ × ९ = ३६.

Q4. y ÷ ५ = ६ सोडवा.

दोन्ही बाजूंना ५ ने गुणू: y = ६ × ५ = ३०. पडताळा: ३० ÷ ५ = ६.

Q5. एका संख्येत ९ मिळवले तर २३ मिळतात. ती संख्या कोणती?

संख्या x मानू: x + ९ = २३. दोन्ही बाजूंतून ९ वजा करू: x = १४.

परीक्षेसाठी टीप

प्रत्येक समीकरणानंतर पडताळा लिहा; त्यासाठी गुण मिळतात आणि चूक लगेच सापडते.

थोडक्यात सारांश

हा पाठ खेळातून गणित शिकवतो. स्मार्ट कार्ड्सचा संख्या ओळखण्याचा खेळ, पाच टोकांची चांदणी आणि तिच्यातील कोन, तसेच पेन्टोमीनोझ्‌ वापरून आयत भरण्याचा खेळ यांतून संख्या, कोन आणि आकार यांची गंमत अनुभवतो.

महत्त्वाचे मुद्दे

• स्मार्ट कार्ड्स: पाच कार्डांवर १ ते ३१ मधील संख्या ठरावीक पद्धतीने लिहिलेल्या असतात. कार्डांवरील पहिल्या संख्या १, २, ४, ८, १६ आहेत.
• मित्राने मनात धरलेली संख्या ज्या कार्डांवर आहे ती कार्डे सांगितली की त्या कार्डांवरील पहिल्या संख्यांची बेरीज करताच त्याची संख्या मिळते.
• पाच टोकांच्या चांदणीच्या मध्यभागी सुसम पंचकोन तयार होतो. सुसम पंचकोनाचे सर्व कोन समान असतात.
• सरळ रेषेवरील कोनांची बेरीज १८०° आणि त्रिकोणाच्या कोनांची बेरीज १८०° हे गुणधर्म वापरून चांदणीतील सर्व कोन काढता येतात.
• पेन्टोमीनोझ् – ५ समान मापाचे चौरस बाजूला बाजू जोडून तयार झालेले आकार. असे १२ वेगवेगळे आकार होतात.
• १२ पेन्टोमीनोझ्‌चे एकूण क्षेत्रफळ ६० चौरस असते; त्यांनी ६×१०, ५×१२, ४×१५, ३×२० हे आयत फट न ठेवता भरता येतात.

महत्त्वाच्या संज्ञा

• सुसम पंचकोन – पाचही बाजू व पाचही कोन समान असलेला पंचकोन.
• पेन्टोमीनो – पाच चौरस जोडून बनलेला आकार.

सूत्रे

• n बाजूंच्या बहुभुजाकृतीच्या कोनांची बेरीज = (n − २) × १८०°
• पंचकोन: (५ − २) × १८०° = ५४०°; सुसम पंचकोनाचा प्रत्येक कोन = ५४०° ÷ ५ = १०८°

५ महत्त्वाचे प्रश्न

Q1. स्मार्ट कार्ड्सवरील पहिल्या संख्या कोणत्या?

१, २, ४, ८ आणि १६.

Q2. मित्राची संख्या पहिल्या, तिसऱ्या व पाचव्या कार्डावर आहे. संख्या कोणती?

त्या कार्डांवरील पहिल्या संख्या १, ४, १६. बेरीज = १ + ४ + १६ = २१.

Q3. सुसम पंचकोनाचा प्रत्येक कोन किती अंशाचा?

कोनांची बेरीज = (५ − २) × १८०° = ५४०°. प्रत्येक कोन = ५४०° ÷ ५ = १०८°.

Q4. चांदणीत पंचकोनाच्या कोनाशेजारी सरळ रेषेवरचा कोन ७२° आहे. चांदणीच्या टोकाचा कोन काढा.

टोकाशी तयार झालेल्या त्रिकोणाचे दोन कोन ७२° व ७२°. टोकाचा कोन = १८०° − (७२° + ७२°) = ३६°.

Q5. पेन्टोमीनो म्हणजे काय? असे किती आकार होतात?

५ समान चौरस बाजूला बाजू जोडून बनलेला आकार म्हणजे पेन्टोमीनो; असे १२ वेगवेगळे आकार होतात.

परीक्षेसाठी टीप

सरळ रेषेवरील कोन (१८०°) आणि त्रिकोणाचे कोन (१८०°) हे दोन गुणधर्म वापरून कोन शोधायचा सराव करा.

थोडक्यात सारांश

ज्या अपूर्णांकाचा छेद १०, १०० किंवा १००० असतो तो दशांश चिन्ह वापरून लिहिता येतो; त्याला दशांश अपूर्णांक म्हणतात. या पाठात दशांश स्थाने, व्यवहारी अपूर्णांकाचे दशांश रूपांतर, दशांश अपूर्णांकांची तुलना, बेरीज व वजाबाकी शिकतो.

महत्त्वाचे मुद्दे

• एकक स्थानाच्या उजवीकडे दशांश, शतांश, सहस्रांश ही स्थाने असतात.
• ७/१० = ०.७; २३/१०० = ०.२३; १२५/१००० = ०.१२५.
• व्यवहारी अपूर्णांकाचे दशांश रूप: छेद १०, १०० किंवा १००० करावा. ३/४ = ७५/१०० = ०.७५.
• तुलना: आधी पूर्णांक भाग, मग दशांश, मग शतांश स्थानांची तुलना करावी.
• दशांश अपूर्णांकाच्या शेवटी शून्य लिहिले तरी किंमत बदलत नाही: ०.५ = ०.५०.
• बेरीज-वजाबाकी करताना दशांश चिन्हे एकाखाली एक येतील अशी मांडणी करावी; रिकाम्या जागी शून्य लिहावे.
• पैसे, मापन, दुकानातील बिल, कॅल्क्युलेटर यांत दशांश अपूर्णांक वापरतात.

महत्त्वाच्या संज्ञा

• दशांश चिन्ह – पूर्णांक व अपूर्णांक भाग वेगळे करणारा बिंदू.
• दशांश – १/१० चे स्थान.
• शतांश – १/१०० चे स्थान.
• सहस्रांश – १/१००० चे स्थान.

सूत्रे

५ महत्त्वाचे प्रश्न

Q1. ४.३७ मध्ये ३ व ७ यांची स्थाने सांगा.

३ दशांश स्थानी (३/१०), ७ शतांश स्थानी (७/१००).

Q2. ७/२० चे दशांश रूप लिहा.

७/२० = (७ × ५)/(२० × ५) = ३५/१०० = ०.३५.

Q3. ०.४ व ०.३९ यांपैकी मोठी संख्या कोणती?

०.४ = ०.४०. दशांश स्थानी ४ > ३, म्हणून ०.४ मोठी.

Q4. १२.५ + ३.७५ ची बेरीज करा.

मांडणी: १२.५० + ३.७५ = १६.२५.

Q5. १० − ४.६५ सोडवा.

१०.०० − ४.६५ = ५.३५.

परीक्षेसाठी टीप

बेरीज-वजाबाकीत दशांश चिन्ह एका रेषेत ठेवा आणि रिकाम्या स्थानी ० लिहा; बहुतेक चुका इथेच होतात.

थोडक्यात सारांश

व्यापारात वस्तू ज्या किमतीला विकत घेतली ती खरेदी किंमत आणि ज्या किमतीला विकली ती विक्री किंमत. विक्री किंमत जास्त असेल तर नफा, कमी असेल तर तोटा होतो. या पाठात नफा-तोटा आणि इतर खर्च धरून एकूण खरेदी किंमत काढायला शिकतो.

महत्त्वाचे मुद्दे

• वस्तू विकत घेण्यासाठी दिलेली रक्कम म्हणजे खरेदी किंमत.
• वस्तू विकून मिळालेली रक्कम म्हणजे विक्री किंमत.
• विक्री किंमत > खरेदी किंमत असेल तर नफा.
• विक्री किंमत < खरेदी किंमत असेल तर तोटा.
• दोन्ही समान असतील तर ना नफा, ना तोटा.
• वाहतूक, दुरुस्ती, मजुरी असे इतर खर्च खरेदी किमतीत मिळवून एकूण खरेदी किंमत काढावी.
• नफा किंवा तोटा नेहमी एकूण खरेदी किमतीवरून काढतात.

महत्त्वाच्या संज्ञा

• खरेदी किंमत – विकत घेताना दिलेली किंमत.
• विक्री किंमत – विकताना मिळालेली किंमत.
• नफा – खर्चापेक्षा जास्त मिळालेली रक्कम.
• तोटा – खर्चापेक्षा कमी मिळाल्याने झालेले नुकसान.

सूत्रे

• नफा = विक्री किंमत − खरेदी किंमत
• तोटा = खरेदी किंमत − विक्री किंमत
• विक्री किंमत = खरेदी किंमत + नफा; विक्री किंमत = खरेदी किंमत − तोटा
• एकूण खरेदी किंमत = मूळ खरेदी किंमत + इतर खर्च

५ महत्त्वाचे प्रश्न

Q1. एक सायकल ₹ ४५०० ला घेऊन ₹ ५२०० ला विकली. नफा की तोटा? किती?

विक्री किंमत जास्त, म्हणून नफा. नफा = ५२०० − ४५०० = ₹ ७००.

Q2. ₹ १२५० चे घड्याळ ₹ ११०० ला विकले. तोटा किती?

तोटा = १२५० − ११०० = ₹ १५०.

Q3. ₹ ८००० चा जुना टीव्ही घेतला, दुरुस्तीला ₹ ७०० खर्च झाले. तो ₹ ९५०० ला विकला. नफा काढा.

एकूण खरेदी किंमत = ८००० + ७०० = ₹ ८७००. नफा = ९५०० − ८७०० = ₹ ८००.

Q4. खरेदी किंमत ₹ ६०० व नफा ₹ ९० असल्यास विक्री किंमत किती?

विक्री किंमत = ६०० + ९० = ₹ ६९०.

Q5. खरेदी किंमत ₹ ३२० व तोटा ₹ ४५ असल्यास विक्री किंमत किती?

विक्री किंमत = ३२० − ४५ = ₹ २७५.

परीक्षेसाठी टीप

इतर खर्च दिला असेल तर आधी एकूण खरेदी किंमत काढा; मगच नफा-तोटा काढा.

थोडक्यात सारांश

ज्या गुणोत्तराचे उत्तरपद १०० असते त्याला शतमान गुणोत्तर म्हणतात आणि ते शेकडा किंवा % (टक्के) चिन्हाने लिहितात. या पाठात शेकडेवारीचा अर्थ, अपूर्णांक व शेकडेवारी यांचे परस्पर रूपांतर आणि एखाद्या संख्येचे शेकडा प्रमाण काढणे शिकतो.

महत्त्वाचे मुद्दे

• छेद १०० असलेल्या गुणोत्तराला शतमान गुणोत्तर म्हणतात; ते ‘शेकडा’ किंवा % चिन्हाने लिहितात. % चे वाचन ‘टक्के’.
• शेकडेवारीलाच शतमान किंवा टक्केवारी म्हणतात. २५% = २५/१००.
• अपूर्णांकाचे शेकडेवारीत रूपांतर: अपूर्णांकाला १०० ने गुणा. ३/४ = ३/४ × १०० = ७५%.
• शेकडेवारीचे अपूर्णांकात रूपांतर: १०० ने भागा व संक्षिप्त करा. ४०% = ४०/१०० = २/५.
• एखाद्या संख्येचे x% = (x × संख्या) ÷ १००.
• परीक्षेतील गुण, नफा-तोटा, सवलत, व्याजदर यांत शेकडेवारी वापरतात.

महत्त्वाच्या संज्ञा

• शेकडेवारी – प्रत्येकी शंभरामागे किती.
• शतमान गुणोत्तर – उत्तरपद १०० असलेले गुणोत्तर.
• % – टक्के (शेकडा) चिन्ह.

सूत्रे

• x% = x/१००
• संख्येचे x% = (x × संख्या) ÷ १००
• शेकडेवारी = (भाग ÷ एकूण) × १००

५ महत्त्वाचे प्रश्न

Q1. ३५% हे अपूर्णांक रूपात लिहा.

३५% = ३५/१०० = ७/२०.

Q2. ३/५ ची शेकडेवारी किती?

३/५ × १०० = ६०%.

Q3. ८०० चे १५% किती?

(१५ × ८००) ÷ १०० = १२०.

Q4. एका परीक्षेत ५० पैकी ४२ गुण मिळाले. शेकडा गुण किती?

(४२ ÷ ५०) × १०० = ८४%.

Q5. एका शाळेत ६०० विद्यार्थी आहेत, त्यांपैकी ४५% मुली आहेत. मुले किती?

मुली = (४५ × ६००) ÷ १०० = २७०. मुले = ६०० − २७० = ३३०.

परीक्षेसाठी टीप

‘पैकी’ असा शब्द असेल तर (भाग ÷ एकूण) × १०० हे सूत्र वापरा.

थोडक्यात सारांश

कंपासपेटीतील पट्टी, कंपास, कोनमापक, गुण्या आणि कर्कटक वापरून अचूक आकृत्या काढणे म्हणजे भौमितिक रचना. या पाठात रेषेवरील बिंदूतून लंब, रेषेबाहेरील बिंदूतून लंब, दिलेल्या मापाचा कोन आणि दिलेल्या कोनाचा कोनदुभाजक काढायला शिकतो.

महत्त्वाचे मुद्दे

• कंपासपेटीत पट्टी, कंपास, कोनमापक, गुण्या व कर्कटक ही साधने असतात.
• दोन रेषा एकमेकींना छेदून काटकोन करत असतील, तर त्या एकमेकींना लंब असतात.
• रेषेवरील बिंदूतून लंब – गुण्याने किंवा कंपासने काढता येतो.
• रेषेबाहेरील बिंदूतून लंब – गुण्याची काटकोन करणारी कड रेषेवर ठेवून किंवा कंपासने कंस काढून काढता येतो.
• दिलेल्या मापाचा कोन – कोनमापकाचा मध्यबिंदू किरणाच्या आरंभबिंदूवर व पायारेषा किरणावर ठेवून योग्य अंशावर खूण करावी.
• दिलेल्या कोनाचे दोन समान भाग करणाऱ्या किरणाला कोनदुभाजक म्हणतात.
• कोनदुभाजक काढण्याच्या पायऱ्या: शिरोबिंदू केंद्र घेऊन दोन्ही भुजांना छेदणारा कंस काढा; त्या दोन छेदनबिंदूंतून समान त्रिज्येचे एकमेकांना छेदणारे कंस काढा; शिरोबिंदू व हा छेदनबिंदू जोडा.
• रचना करताना पेन्सिल टोकदार ठेवा आणि रचनेचे कंस पुसू नका.

महत्त्वाच्या संज्ञा

• लंब – काटकोन करणारी रेषा.
• कोनदुभाजक – कोनाचे दोन समान भाग करणारा किरण.
• कोनमापक – कोन मोजण्याचे व काढण्याचे साधन.
• गुण्या – काटकोन असलेले त्रिकोणी साधन.

सूत्रे

• किरण BD हा ∠ABC चा कोनदुभाजक असेल तर ∠ABD = ∠DBC = ½ × ∠ABC.
• लंब रेषांमधील कोन = ९०°

५ महत्त्वाचे प्रश्न

Q1. कोनदुभाजक म्हणजे काय?

दिलेल्या कोनाचे दोन समान भाग करणाऱ्या किरणाला त्या कोनाचा कोनदुभाजक म्हणतात.

Q2. ∠PQR = ८०° असून किरण QS कोनदुभाजक आहे. ∠PQS किती?

∠PQS = ½ × ८०° = ४०°.

Q3. कंपासने ७०° कोनाचा कोनदुभाजक काढण्याच्या पायऱ्या लिहा.

कोनमापकाने ७०° चा ∠ABC काढा. B केंद्र घेऊन दोन्ही भुजांना छेदणारा कंस काढा. छेदनबिंदूंतून समान त्रिज्येचे कंस काढा; ते D मध्ये छेदतील. किरण BD काढा; हाच कोनदुभाजक.

Q4. रेषेबाहेरील बिंदूतून लंब काढण्यासाठी कोणते साधन वापरता येते?

गुण्या किंवा कंपास व पट्टी.

Q5. दोन रेषा एकमेकींना लंब आहेत हे कसे ओळखाल?

त्यांच्यामध्ये तयार होणारा कोन ९०° आहे का हे कोनमापकाने किंवा गुण्याने तपासावे.

परीक्षेसाठी टीप

रचनेत कंस आणि मापे स्पष्ट ठेवा; उत्तराखाली रचनेच्या पायऱ्या थोडक्यात लिहा.

थोडक्यात सारांश

बंद आकृतीच्या सर्व बाजूंच्या लांबींची बेरीज म्हणजे परिमिती आणि आकृतीने सपाट पृष्ठभागावर व्यापलेली जागा म्हणजे क्षेत्रफळ. या पाठात आयत, चौरस आणि त्रिकोण यांची परिमिती व क्षेत्रफळ काढायला शिकतो.

महत्त्वाचे मुद्दे

• परिमिती = सर्व बाजूंच्या लांबींची बेरीज. एकक: सेमी, मीटर.
• क्षेत्रफळ = आकृतीने व्यापलेली जागा. एकक: चौरस सेमी (सेमी²), चौरस मीटर (मी²).
• आयताच्या संमुख बाजू समान असतात; चौरसाच्या सर्व बाजू समान असतात.
• त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ, त्याच पाया व उंचीच्या आयताच्या क्षेत्रफळाच्या निम्मे असते.
• काटकोन त्रिकोणात काटकोन करणाऱ्या दोन बाजू पाया व उंची म्हणून घेता येतात.
• आकडेमोडीपूर्वी सर्व मापे एकाच एककात आणा.

महत्त्वाच्या संज्ञा

• परिमिती – आकृतीभोवतीची एकूण लांबी.
• क्षेत्रफळ – आकृतीने व्यापलेली जागा.
• पाया व उंची – त्रिकोणाची बाजू व तिच्यावर समोरच्या शिरोबिंदूतून टाकलेला लंब.

सूत्रे

• आयताची परिमिती = २ × (लांबी + रुंदी)
• चौरसाची परिमिती = ४ × बाजू
• आयताचे क्षेत्रफळ = लांबी × रुंदी
• चौरसाचे क्षेत्रफळ = बाजू × बाजू
• त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ = ½ × पाया × उंची
• काटकोन त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ = ½ × काटकोन करणाऱ्या बाजूंचा गुणाकार

५ महत्त्वाचे प्रश्न

Q1. १२ सेमी लांब व ८ सेमी रुंद आयताची परिमिती काढा.

परिमिती = २ × (१२ + ८) = २ × २० = ४० सेमी.

Q2. ९ सेमी बाजूच्या चौरसाचे क्षेत्रफळ काढा.

क्षेत्रफळ = ९ × ९ = ८१ चौसेमी.

Q3. पाया १० सेमी व उंची ६ सेमी असलेल्या त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ काढा.

क्षेत्रफळ = ½ × १० × ६ = ३० चौसेमी.

Q4. एका चौरसाकृती बागेची परिमिती ८० मीटर आहे. तिची बाजू व क्षेत्रफळ काढा.

बाजू = ८० ÷ ४ = २० मीटर. क्षेत्रफळ = २० × २० = ४०० चौमी.

Q5. २५ मी × १५ मी आयताकृती मैदानाला तारेचे दोन फेरे करायचे आहेत. किती तार लागेल?

परिमिती = २ × (२५ + १५) = ८० मी. दोन फेरे = ८० × २ = १६० मीटर तार.

परीक्षेसाठी टीप

परिमितीचे उत्तर साध्या एककात (सेमी, मी) आणि क्षेत्रफळाचे उत्तर चौरस एककात (चौसेमी, चौमी) लिहा.

थोडक्यात सारांश

काटकोन त्रिकोणात कर्णाचा वर्ग हा इतर दोन बाजूंच्या वर्गांच्या बेरजेइतका असतो, हा बौधायन-पायथागोरस सिद्धांत आहे. भारतीय गणिती बौधायन यांनी ‘शुल्वसूत्र’ ग्रंथात ही कल्पना मांडली होती. या पाठात सिद्धांत, त्याचा वापर करून बाजू काढणे आणि बौधायन-पायथागोरसची त्रिकुटे शिकतो.

महत्त्वाचे मुद्दे

• ज्या त्रिकोणाचा एक कोन काटकोन असतो तो काटकोन त्रिकोण.
• काटकोनासमोरील बाजू म्हणजे कर्ण; ती काटकोन त्रिकोणाची सर्वांत मोठी बाजू असते.
• सिद्धांत: (कर्ण)² = (बाजू १)² + (बाजू २)².
• कर्णावर काढलेल्या चौरसाचे क्षेत्रफळ इतर दोन बाजूंवरील चौरसांच्या क्षेत्रफळांच्या बेरजेएवढे असते.
• बौधायन यांचा काळ इ. स. पूर्व आठवे शतक (सुमारे इ. स. पूर्व ७००) मानला जातो. ग्रीक गणिती पायथागोरस यांनी नंतर या सिद्धांताची सुसूत्र सिद्धता मांडली.
• तीन नैसर्गिक संख्यांमध्ये मोठ्या संख्येचा वर्ग उरलेल्या दोन संख्यांच्या वर्गांच्या बेरजेइतका असेल तर त्या बौधायन-पायथागोरसचे त्रिकुट (उदा. ३, ४, ५; ५, १२, १३; ७, २४, २५).
• त्रिकोणाच्या बाजू त्रिकुटाचा नियम पाळत असतील तर तो काटकोन त्रिकोण असतो.

महत्त्वाच्या संज्ञा

• कर्ण – काटकोनासमोरील बाजू.
• त्रिकुट – सिद्धांत पाळणाऱ्या तीन नैसर्गिक संख्या.
• शुल्वसूत्र – बौधायनांचा प्राचीन भारतीय ग्रंथ.

सूत्रे

• (कर्ण)² = (बाजू १)² + (बाजू २)²
• (बाजू १)² = (कर्ण)² − (बाजू २)²

५ महत्त्वाचे प्रश्न

Q1. काटकोन ∆PQR मध्ये ∠Q = ९०°, PQ = १२ सेमी, QR = ५ सेमी. PR काढा.

PR हा कर्ण. PR² = १२² + ५² = १४४ + २५ = १६९. म्हणून PR = १३ सेमी.

Q2. काटकोन ∆XYZ मध्ये ∠Y = ९०°, कर्ण XZ = १० सेमी, XY = ६ सेमी. YZ काढा.

YZ² = १०² − ६² = १०० − ३६ = ६४. म्हणून YZ = ८ सेमी.

Q3. (७, २४, २५) हे त्रिकुट आहे का?

७² + २४² = ४९ + ५७६ = ६२५ आणि २५² = ६२५. दोन्ही समान, म्हणून हे त्रिकुट आहे.

Q4. ११, १२, १५ बाजूंचा त्रिकोण काटकोन त्रिकोण आहे का?

११² + १२² = १२१ + १४४ = २६५; १५² = २२५. २६५ ≠ २२५, म्हणून तो काटकोन त्रिकोण नाही.

Q5. बौधायन कोण होते?

बौधायन हे प्राचीन भारतीय गणिती होते. त्यांच्या ‘शुल्वसूत्र’ ग्रंथात काटकोन त्रिकोणाचा हा सिद्धांत मांडलेला आहे.

परीक्षेसाठी टीप

प्रश्नात आधी कर्ण कोणता ते ओळखा (काटकोनासमोरील बाजू); मगच सूत्रात किमती ठेवा.

थोडक्यात सारांश

बँक लोकांकडून ठेवी स्वीकारते आणि गरजूंना कर्ज देते. ठेवीवर बँक व्याज देते व कर्जावर व्याज घेते. या पाठात बँकेची कामे, खात्यांचे प्रकार, मुद्दल, व्याजदर, मुदत, रास आणि सरळव्याज काढण्याचे सूत्र शिकतो.

महत्त्वाचे मुद्दे

• बँक ही पैशांचे व्यवहार करणारी परवानाधारक वित्तीय संस्था आहे; बँकेत ठेवलेली रक्कम सुरक्षित राहते.
• बँकेची कामे: ठेवी स्वीकारणे (मुदत ठेव, आवर्ती ठेव), कर्ज देणे, पैसे पाठवणे इत्यादी.
• बचत खाते, चालू खाते असे खात्यांचे प्रकार; धनादेश, एटीएम, ऑनलाइन बँकिंग अशा सुविधा.
• मुद्दल (P) – बँकेत ठेवलेली किंवा कर्जाऊ घेतलेली रक्कम.
• व्याजदर (R) – ₹ १०० वर एका वर्षाचे व्याज; ‘द.सा.द.शे.’ (दरसाल दरशेकडा) असे लिहितात.
• मुदत (N) – रक्कम किती वर्षांसाठी ठेवली/घेतली तो काळ.
• व्याज (I) – मुद्दलावर मिळणारी किंवा द्यावी लागणारी जादा रक्कम.
• फक्त मुद्दलावर काढलेले व्याज म्हणजे सरळव्याज.
• रास – मुदतीअखेर व्याजासह परत मिळणारी एकूण रक्कम.

महत्त्वाच्या संज्ञा

• मुद्दल – मूळ रक्कम.
• व्याजदर – दर वर्षी दर शंभर रुपयांवरील व्याज.
• मुदत – ठेवीचा/कर्जाचा कालावधी.
• रास – मुद्दल + व्याज.

सूत्रे

• सरळव्याज I = (P × R × N) ÷ १००
• रास = मुद्दल + व्याज

५ महत्त्वाचे प्रश्न

Q1. रास म्हणजे काय?

मुदतीअखेर बँकेने ठेवीदाराला व्याजासकट परत केलेली एकूण रक्कम म्हणजे रास.

Q2. ₹ ५००० वर द.सा.द.शे. ८ दराने ३ वर्षांचे सरळव्याज काढा.

I = (५००० × ८ × ३) ÷ १०० = १२०००० ÷ १०० = ₹ १२००.

Q3. वरील उदाहरणात रास किती?

रास = ५००० + १२०० = ₹ ६२००.

Q4. ₹ १२००० कर्ज द.सा.द.शे. १० दराने २ वर्षांसाठी घेतले. किती रक्कम परत करावी लागेल?

व्याज = (१२००० × १० × २) ÷ १०० = ₹ २४००. परत करायची रक्कम = १२००० + २४०० = ₹ १४४००.

Q5. बँकेची दोन कामे लिहा.

लोकांकडून ठेवी स्वीकारून त्यांवर व्याज देणे; गरजूंना कर्ज देऊन त्यावर व्याज घेणे.

परीक्षेसाठी टीप

सूत्र लिहा, किमती ठेवा, मग आकडेमोड करा – प्रत्येक पायरीला गुण असतात. रास विचारली असेल तर व्याजात मुद्दल मिळवायला विसरू नका.

थोडक्यात सारांश

गोळा केलेली संख्यात्मक माहिती सारणी, चित्रालेख, स्तंभालेख आणि माहितीचित्र (इन्फोग्राफिक्स) यांच्या साहाय्याने मांडली की ती पटकन समजते. या पाठात वारंवारता सारणी, ताळ्याच्या खुणा, स्तंभालेख काढणे-वाचणे आणि माहितीचित्र यांची ओळख होते.

महत्त्वाचे मुद्दे

• गोळा केलेली संख्यात्मक माहिती म्हणजे सामग्री/माहिती.
• एखादा प्राप्तांक (गुण) किती वेळा येतो ती संख्या म्हणजे वारंवारता.
• मोजताना ताळ्याच्या खुणा (|, ||, |||, ||||) वापरतात; प्रत्येक पाचवी खूण आडवी मारतात.
• प्राप्तांक व त्यांची वारंवारता दाखवणारी सारणी म्हणजे वारंवारता सारणी.
• स्तंभालेख – समान रुंदीच्या उभ्या स्तंभांनी माहिती दाखवणारा आलेख; स्तंभाची उंची किंमत दाखवते.
• स्तंभालेखाला शीर्षक, दोन्ही अक्षांवर नावे आणि योग्य प्रमाण (उदा. १ सेमी = १० विद्यार्थी) असावे; स्तंभांमधील अंतर समान ठेवावे.
• चित्रालेख – चित्रांच्या साहाय्याने माहिती दाखवणे.
• माहितीचित्र (Infographics) – चित्रे, चिन्हे व आकडे वापरून माहितीची कलात्मक, आकर्षक मांडणी.

महत्त्वाच्या संज्ञा

• वारंवारता – एखादी किंमत किती वेळा येते ती संख्या.
• स्तंभालेख – स्तंभांनी काढलेला आलेख.
• प्रमाण – आलेखात एका सेमीने दाखवलेली किंमत.
• माहितीचित्र – आकर्षक चित्ररूप मांडणी.

सूत्रे

• स्तंभाची उंची (सेमी) = किंमत ÷ प्रमाण
• सर्व वारंवारतांची बेरीज = एकूण निरीक्षणे

५ महत्त्वाचे प्रश्न

Q1. वारंवारता म्हणजे काय?

एखादा प्राप्तांक माहितीत किती वेळा आला आहे ती संख्या म्हणजे त्याची वारंवारता.

Q2. गुण: ५, ७, ५, ६, ७, ५, ८. गुण ५ ची वारंवारता किती?

५ हा गुण तीन वेळा आला, म्हणून वारंवारता ३.

Q3. प्रमाण १ सेमी = १० विद्यार्थी असल्यास ४५ विद्यार्थ्यांसाठी स्तंभ किती उंच?

उंची = ४५ ÷ १० = ४.५ सेमी.

Q4. स्तंभालेख काढताना कोणती काळजी घ्यावी?

शीर्षक द्यावे; अक्षांना नावे द्यावीत; योग्य प्रमाण ठरवावे; सर्व स्तंभांची रुंदी व त्यांमधील अंतर समान ठेवावे.

Q5. माहितीचित्र (इन्फोग्राफिक्स) चा उपयोग काय?

चित्रे, चिन्हे व आकडे वापरून माहिती आकर्षकपणे मांडल्यामुळे ती एका दृष्टिक्षेपात समजते आणि लक्षात राहते.

परीक्षेसाठी टीप

स्तंभालेखाचे प्रमाण आधी लिहा; प्रमाणावरूनच स्तंभांची उंची ठरते.

थोडक्यात सारांश

या पाठात गणितातील गंमत अनुभवतो: थोर गणिती श्रीनिवास रामानुजन यांची ओळख व त्यांच्या जन्मतारखेचा जादूचा चौरस, ब्रह्मा टॉवर (टॉवर ऑफ हनोई) हा खेळ, आणि तराजू वापरून नऊ मापांपैकी हलके माप ओळखण्याचे कोडे.

महत्त्वाचे मुद्दे

• श्रीनिवास रामानुजन (२२/१२/१८८७ – २६/०४/१९२०) यांचा जन्म तत्कालीन मद्रास प्रांतातील एरोड येथे झाला.
• त्यांनी संख्या सिद्धांत, गणिती विश्लेषण आणि अनंत मालिका यांवर काम केले; अंदाजे ४००० प्रमेये सिद्ध केली.
• त्यांचा जन्मदिवस २२ डिसेंबर हा राष्ट्रीय गणित दिवस म्हणून साजरा केला जातो.
• रामानुजन चौरस: पहिल्या ओळीत २२, १२, १८, ८७ अशी जन्मतारीख; आडवी, उभी, तिरपी कोणतीही बेरीज सारखीच (१३९) येते.
• ब्रह्मा टॉवर: तीन दांडे व लहान-मोठ्या चकत्या. नियम – एका वेळी एकच चकती हलवायची; लहान चकतीवर मोठी चकती ठेवायची नाही; सर्व चकत्या पहिल्या दांड्यावरून तिसऱ्यावर त्याच क्रमाने न्यायच्या.
• चकत्या १, २, ३, ४ असतील तर कमीत कमी हालचाली १, ३, ७, १५ लागतात; प्रत्येक वेळी आधीच्या संख्येच्या दुप्पट + १.
• नऊ सारख्या मापांपैकी एक हलके असेल तर तराजूच्या पारड्यांत मापे वाटून, कोणते पारडे वर जाते ते पाहून हलके माप शोधता येते.

महत्त्वाच्या संज्ञा

• राष्ट्रीय गणित दिवस – २२ डिसेंबर.
• ब्रह्मा टॉवर – चकत्या हलवण्याचा तर्काचा खेळ.
• जादूचा चौरस – सर्व दिशांनी बेरीज सारखी येणारा चौरस.

सूत्रे

• n चकत्यांसाठी कमीत कमी हालचाली t = २ⁿ − १
• पुढील हालचाली = २ × आधीच्या हालचाली + १

५ महत्त्वाचे प्रश्न

Q1. राष्ट्रीय गणित दिवस केव्हा व का साजरा करतात?

२२ डिसेंबर रोजी, कारण हा श्रीनिवास रामानुजन यांचा जन्मदिवस आहे.

Q2. रामानुजन यांनी कोणत्या विषयांवर काम केले?

संख्या सिद्धांत, गणिती विश्लेषण आणि अनंत मालिका.

Q3. ब्रह्मा टॉवरमध्ये ५ चकत्यांसाठी कमीत कमी किती हालचाली लागतील?

t = २⁵ − १ = ३२ − १ = ३१ हालचाली. (किंवा ४ चकत्यांसाठी १५; २ × १५ + १ = ३१)

Q4. ब्रह्मा टॉवर खेळाचे नियम लिहा.

एका वेळी एकच चकती हलवायची; लहान चकतीवर मोठी चकती ठेवायची नाही; सर्व चकत्या मूळ क्रमाने पहिल्या दांड्यावरून तिसऱ्या दांड्यावर न्यायच्या.

Q5. रामानुजन चौरसाच्या पहिल्या ओळीची बेरीज काढा.

२२ + १२ + १८ + ८७ = १३९.

परीक्षेसाठी टीप

रामानुजन यांची जन्मतारीख व राष्ट्रीय गणित दिवस आणि ब्रह्मा टॉवरचे सूत्र लक्षात ठेवा.