गणित Mathematics

थोडक्यात सारांश

घड्याळ, पुस्तकातील धडे, वर्ग यांवर कधी कधी I, V, X अशी चिन्हे दिसतात. ही रोमन संख्याचिन्हे आहेत. या पाठात रोमन संख्याचिन्हे, ती लिहिण्याचे नियम आणि १ ते २० (व पुढे) संख्या रोमन चिन्हांत लिहायला शिकतो.

महत्त्वाचे मुद्दे

• रोमन पद्धतीत इंग्रजी कॅपिटल अक्षरे चिन्हे म्हणून वापरतात.
• I = १, V = ५, X = १०. या पद्धतीत शून्यासाठी चिन्ह नाही.
• चिन्हाची किंमत त्याच्या स्थानानुसार बदलत नाही.
• नियम १: I किंवा X दोन-तीन वेळा लिहिल्यास त्यांची बेरीज करतात: II = २, XX = २०.
• नियम २: I व X जास्तीत जास्त तीन वेळा लागोपाठ लिहितात; V कधीच दोनदा लिहीत नाहीत.
• नियम ३: मोठ्या चिन्हाच्या उजवीकडे लहान चिन्ह असल्यास बेरीज करतात: VI = ६, XV = १५.
• नियम ४: V किंवा X च्या डावीकडे I असल्यास वजाबाकी करतात: IV = ४, IX = ९.
• आणखी चिन्हे: L = ५०, C = १००, D = ५००, M = १०००.

महत्त्वाच्या संज्ञा

• रोमन संख्याचिन्हे – I, V, X, L, C, D, M ही चिन्हे.
• पुनरावृत्ती – एकच चिन्ह पुन्हा पुन्हा लिहिणे.

सूत्रे

• १ ते १०: I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X
• ११ ते २०: XI, XII, XIII, XIV, XV, XVI, XVII, XVIII, XIX, XX

५ महत्त्वाचे प्रश्न

Q1. १४ ही संख्या रोमन चिन्हांत लिहा.

१४ = १० + ४ = X + IV = XIV.

Q2. XIX म्हणजे किती?

X = १०, IX = ९. म्हणून XIX = १९.

Q3. V चिन्ह दोनदा का लिहीत नाहीत?

VV = १० होईल, पण १० साठी X हे चिन्ह आहे. म्हणून V ची पुनरावृत्ती करत नाहीत.

Q4. २७ आणि ३८ रोमन चिन्हांत लिहा.

२७ = XX + VII = XXVII; ३८ = XXX + VIII = XXXVIII.

Q5. रोमन पद्धत व आपली संख्या पद्धत यांतील एक फरक सांगा.

रोमन पद्धतीत शून्य नाही आणि स्थानानुसार किंमत बदलत नाही; आपल्या पद्धतीत शून्य आहे व स्थानानुसार किंमत बदलते.

परीक्षेसाठी टीप

४ (IV), ९ (IX), १४ (XIV), १९ (XIX) अशा वजाबाकीच्या संख्या नीट लक्षात ठेवा.

थोडक्यात सारांश

आपण आतापर्यंत पाच अंकी संख्या शिकलो. या पाठात सहा, सात व आठ अंकी संख्या – लाख, दहा लाख, कोटी – यांचे वाचन, लेखन, स्थानिक किंमत, विस्तारित रूप आणि संख्यांची तुलना शिकतो.

महत्त्वाचे मुद्दे

• ९९,९९९ + १ = १,००,००० (एक लाख) – सर्वांत लहान सहा अंकी संख्या.
• १ लाख = १०० हजार. अर्धा लाख = ५०,०००.
• ९,९९,९९९ + १ = १०,००,००० (दहा लाख) – सर्वांत लहान सात अंकी संख्या.
• ९९,९९,९९९ + १ = १,००,००,००० (एक कोटी) – सर्वांत लहान आठ अंकी संख्या.
• स्थाने (उजवीकडून): एकक, दशक, शतक, हजार, दशहजार, लाख, दशलाख, कोटी.
• स्वल्पविराम: उजवीकडून पहिल्या तीन अंकांनंतर, मग दर दोन अंकांनंतर: १२,३४,५६७.
• स्थानिक किंमत = अंक × त्या स्थानाची किंमत.
• संख्या स्थानिक किमतींच्या बेरजेच्या रूपात लिहिणे म्हणजे विस्तारित रूप.
• तुलना: जास्त अंकांची संख्या मोठी; अंक सारखे असल्यास डावीकडून तुलना करावी.

महत्त्वाच्या संज्ञा

• स्थानिक किंमत – अंकाची स्थानावरून ठरणारी किंमत.
• विस्तारित रूप – स्थानिक किमतींची बेरीज.
• लाख, कोटी – मोठ्या संख्यांची एकके.

सूत्रे

• १ लाख = १०० हजार; १ कोटी = १०० लाख
• सर्वांत लहान ६ अंकी = १,००,०००; सर्वांत मोठी ६ अंकी = ९,९९,९९९
• सर्वांत लहान ७ अंकी = १०,००,०००; सर्वांत मोठी ७ अंकी = ९९,९९,९९९

५ महत्त्वाचे प्रश्न

Q1. ३,४५,२७८ ही संख्या अक्षरांत लिहा.

तीन लाख पंचेचाळीस हजार दोनशे अठ्ठ्याहत्तर.

Q2. ५,६८,३२१ मधील ६ ची स्थानिक किंमत किती?

६ दशहजार स्थानी आहे. स्थानिक किंमत = ६ × १०,००० = ६०,०००.

Q3. ४,०७,५९० चे विस्तारित रूप लिहा.

४,००,००० + ० + ७,००० + ५०० + ९० + ० = ४,००,००० + ७,००० + ५०० + ९०.

Q4. ७,८९,४५६ आणि ७,९८,४५६ यांपैकी मोठी संख्या कोणती?

दोन्ही सहा अंकी. लाख स्थानी ७ = ७. दशहजार स्थानी ८ < ९. म्हणून ७,९८,४५६ मोठी.

Q5. सर्वांत मोठ्या सहा अंकी संख्येत १ मिळवल्यास कोणती संख्या मिळते?

९,९९,९९९ + १ = १०,००,००० (दहा लाख).

परीक्षेसाठी टीप

संख्या लिहिताना स्वल्पविराम योग्य ठिकाणी द्या; त्यामुळे वाचन बरोबर होते.

थोडक्यात सारांश

या पाठात मोठ्या संख्यांची बेरीज व वजाबाकी हातच्यासह करायला आणि रोजच्या जीवनातील शाब्दिक उदाहरणे सोडवायला शिकतो.

महत्त्वाचे मुद्दे

• संख्या एकाखाली एक लिहिताना एकक एककाखाली, दशक दशकाखाली अशी मांडणी करावी.
• बेरीज एकक स्थानापासून सुरू करावी. बेरीज १० किंवा जास्त आली तर १ हातचा पुढच्या स्थानी न्यावा.
• वजाबाकीत वरचा अंक लहान असेल तर पुढील स्थानावरून १ हातचा घ्यावा.
• वजाबाकीचा ताळा: फरक + लहान संख्या = मोठी संख्या.
• संख्यांचा क्रम बदलला तरी बेरीज बदलत नाही: a + b = b + a.
• शाब्दिक उदाहरणांत ‘एकूण’, ‘मिळून’ असे शब्द असल्यास बेरीज; ‘किती जास्त’, ‘किती उरले’, ‘फरक’ असल्यास वजाबाकी.

महत्त्वाच्या संज्ञा

• बेरीज – संख्या मिळवून आलेले उत्तर.
• फरक – मोठ्या संख्येतून लहान संख्या वजा केल्यावरचे उत्तर.
• हातचा – पुढच्या स्थानी नेलेला किंवा घेतलेला १.
• ताळा – उत्तर बरोबर आहे का हे तपासणे.

सूत्रे

• फरक = मोठी संख्या − लहान संख्या
• ताळा: फरक + लहान संख्या = मोठी संख्या

५ महत्त्वाचे प्रश्न

Q1. ३,४५,६७८ + २,३४,५६७ ची बेरीज करा.

एककापासून हातच्यासह बेरीज: ३,४५,६७८ + २,३४,५६७ = ५,८०,२४५.

Q2. ७,००,००० − ३,२५,४८६ सोडवा.

उत्तर = ३,७४,५१४. ताळा: ३,७४,५१४ + ३,२५,४८६ = ७,००,०००.

Q3. एका गावात २५,६४० पुरुष व २४,८७५ स्त्रिया आहेत. एकूण लोकसंख्या किती?

२५,६४० + २४,८७५ = ५०,५१५.

Q4. एका शेतकऱ्याने ₹ १,२५,००० चे ट्रॅक्टरचे साहित्य घेतले, त्याच्याकडे ₹ २,००,००० होते. किती रुपये उरले?

२,००,००० − १,२५,००० = ₹ ७५,०००.

Q5. वजाबाकीचा ताळा कसा घेतात?

आलेल्या फरकात लहान संख्या मिळवावी; उत्तर मोठ्या संख्येएवढे आले तर वजाबाकी बरोबर आहे.

परीक्षेसाठी टीप

प्रत्येक वजाबाकीनंतर ताळा घ्या; त्यातून हातच्याच्या चुका लगेच सापडतात.

थोडक्यात सारांश

या पाठात तीन-चार अंकी संख्यांचा गुणाकार, जोड्या बनवण्याचे उदाहरण, आणि भाज्य, भाजक, भागाकार व बाकी वापरून भागाकार करायला शिकतो.

महत्त्वाचे मुद्दे

• गुणाकार करताना आधी एकक अंकाने, मग दशक अंकाने (एक स्थान डावीकडे सरकवून) गुणून बेरीज करावी.
• जोड्या: एका गटात ३ वस्तू व दुसऱ्या गटात २ वस्तू असतील तर वेगवेगळ्या जोड्या ३ × २ = ६.
• भागाकारात: भाज्य ÷ भाजक = भागाकार, आणि उरते ती बाकी.
• बाकी नेहमी भाजकापेक्षा लहान असते.
• कोणत्याही संख्येला ० ने गुणल्यास ० येतो; १ ने गुणल्यास तीच संख्या येते.
• शेवटी शून्ये असलेल्या संख्येला १० किंवा १०० ने भागताना तितकी शून्ये कमी होतात: ४५०० ÷ १०० = ४५.

महत्त्वाच्या संज्ञा

• भाज्य – ज्या संख्येला भाग द्यायचा ती.
• भाजक – ज्या संख्येने भाग देतो ती.
• भागाकार – भाग दिल्यावर मिळणारे उत्तर.
• बाकी – भाग दिल्यावर उरलेली संख्या.

सूत्रे

• भाज्य = भाजक × भागाकार + बाकी
• जोड्यांची संख्या = पहिल्या गटातील वस्तू × दुसऱ्या गटातील वस्तू

५ महत्त्वाचे प्रश्न

Q1. ३४५ × २३ हा गुणाकार करा.

३४५ × ३ = १०३५; ३४५ × २० = ६९००; बेरीज = ७९३५.

Q2. ८७६ ÷ ७ सोडवा व ताळा घ्या.

भागाकार १२५, बाकी १. ताळा: ७ × १२५ + १ = ८७५ + १ = ८७६.

Q3. एका रांगेत २४ झाडे, अशा ३५ रांगा आहेत. एकूण झाडे किती?

२४ × ३५ = ८४०.

Q4. ४ शर्ट व ३ पँट यांपासून किती वेगवेगळ्या जोड्या होतील?

४ × ३ = १२ जोड्या.

Q5. ९५४ वह्या १८ विद्यार्थ्यांना सारख्या वाटल्या तर प्रत्येकाला किती मिळतील?

९५४ ÷ १८ = ५३. प्रत्येकाला ५३ वह्या.

परीक्षेसाठी टीप

भागाकारानंतर ‘भाज्य = भाजक × भागाकार + बाकी’ या सूत्राने ताळा घ्या.

थोडक्यात सारांश

एका वस्तूचे किंवा समूहाचे समान भाग दाखवण्यासाठी अपूर्णांक वापरतात. या पाठात सममूल्य अपूर्णांक, समच्छेद व विषमच्छेद अपूर्णांक, अपूर्णांकांची तुलना, बेरीज-वजाबाकी आणि समूहाचा अपूर्णांक भाग काढणे शिकतो.

महत्त्वाचे मुद्दे

• a/b मध्ये a हा अंश आणि b हा छेद.
• किंमत सारखी असलेले अपूर्णांक सममूल्य अपूर्णांक: १/२ = २/४ = ३/६. अंश व छेद यांना एकाच संख्येने गुणल्यास किंवा भागल्यास सममूल्य अपूर्णांक मिळतो.
• छेद समान असलेले अपूर्णांक समच्छेद (२/७, ५/७); छेद वेगळे असलेले विषमच्छेद.
• समच्छेद अपूर्णांकांत ज्याचा अंश मोठा तो मोठा: ५/९ > २/९.
• अंश समान असल्यास ज्याचा छेद लहान तो मोठा: ३/४ > ३/८.
• समच्छेद अपूर्णांकांची बेरीज-वजाबाकी करताना फक्त अंशांची बेरीज-वजाबाकी करतात; छेद तोच राहतो.
• पूर्णांक व अपूर्णांक मिळून पूर्णांकयुक्त अपूर्णांक होतो: २ १/३ = ७/३.

महत्त्वाच्या संज्ञा

• अंश – घेतलेले भाग.
• छेद – एकूण समान भाग.
• सममूल्य अपूर्णांक – समान किंमत असलेले अपूर्णांक.
• समच्छेद अपूर्णांक – छेद समान असलेले अपूर्णांक.

सूत्रे

• a/b = (a × k)/(b × k)
• a/c + b/c = (a + b)/c; a/c − b/c = (a − b)/c
• N चा a/b भाग = (N ÷ b) × a

५ महत्त्वाचे प्रश्न

Q1. २/३ चे दोन सममूल्य अपूर्णांक लिहा.

२/३ = ४/६ = ६/९.

Q2. ३/१० + ४/१० किती?

छेद समान, म्हणून (३ + ४)/१० = ७/१०.

Q3. ७/८ − ३/८ किती?

(७ − ३)/८ = ४/८ = १/२.

Q4. ३/५ आणि ३/७ यांपैकी मोठा अपूर्णांक कोणता?

अंश समान; छेद ५ लहान आहे, म्हणून ३/५ मोठा.

Q5. ३० आंब्यांचा २/५ भाग किती?

३० ÷ ५ = ६; ६ × २ = १२ आंबे.

परीक्षेसाठी टीप

तुलना करताना आधी पाहा – अंश समान आहेत की छेद; नियम त्यानुसार बदलतो.

थोडक्यात सारांश

सामाईक बिंदूपासून निघालेल्या दोन भुजांमुळे कोन तयार होतो. या पाठात कोनाचे नाव लिहिणे, कोनमापकाने कोन मोजणे व काढणे, कोनांचे प्रकार आणि समांतर व लंब रेषा शिकतो.

महत्त्वाचे मुद्दे

• कोनाला एक शिरोबिंदू आणि दोन भुजा असतात.
• ∠ABC म्हणजे B शिरोबिंदू असलेला कोन; तो ∠CBA असाही लिहिता येतो. शिरोबिंदूचे अक्षर नेहमी मधे.
• कोन अंशांत (°) मोजतात; मोजण्याचे साधन कोनमापक.
• मोजताना कोनमापकाचा मध्यबिंदू शिरोबिंदूवर, पायारेषा एका भुजेवर ठेवून त्या भुजेवरील ० पासून मोजावे.
• काटकोन = ९०°; लघुकोन ९०° पेक्षा लहान; विशालकोन ९०° पेक्षा मोठा.
• कागदाच्या दोन घड्या घालून काटकोन तयार करता येतो.
• कितीही वाढवल्या तरी एकमेकींना न मिळणाऱ्या रेषा समांतर रेषा; त्यांच्यातील अंतर सगळीकडे सारखे असते.
• एकमेकींना काटकोनात छेदणाऱ्या रेषा लंब रेषा.

महत्त्वाच्या संज्ञा

• शिरोबिंदू – कोनाच्या भुजा जेथे मिळतात तो बिंदू.
• कोनमापक – कोन मोजण्याचे साधन.
• समांतर रेषा – कधीच न मिळणाऱ्या रेषा.
• लंब रेषा – काटकोन करणाऱ्या रेषा.

सूत्रे

५ महत्त्वाचे प्रश्न

Q1. ∠PQR मध्ये शिरोबिंदू व भुजा कोणत्या?

शिरोबिंदू Q; भुजा QP व QR.

Q2. ४०°, ९०°, १३५° हे कोन कोणत्या प्रकारचे?

४०° – लघुकोन; ९०° – काटकोन; १३५° – विशालकोन.

Q3. कोनमापकाने कोन कसा मोजाल?

कोनमापकाचा मध्यबिंदू शिरोबिंदूवर ठेवा; पायारेषा एका भुजेवर ठेवा; त्या भुजेवरील ० पासून दुसऱ्या भुजेपर्यंत अंश वाचा.

Q4. समांतर रेषांची दोन उदाहरणे द्या.

रेल्वेचे रूळ; वहीतील ओळी.

Q5. घड्याळात ३ वाजता काटे कोणता कोन करतात?

९०° चा, म्हणजे काटकोन.

परीक्षेसाठी टीप

कोनाचे नाव लिहिताना शिरोबिंदू मधे लिहा आणि मोजताना योग्य बाजूची (० पासूनची) मोजपट्टी वाचा.

थोडक्यात सारांश

बांगडी, चाक, नाणे यांचा आकार वर्तुळाकार असतो. या पाठात वर्तुळाचे केंद्र, त्रिज्या, जीवा, व्यास, कंस, वर्तुळाचा अंतर्भाग व बाह्यभाग आणि कंपासने वर्तुळ काढणे शिकतो.

महत्त्वाचे मुद्दे

• वर्तुळाच्या मधोमध असलेला स्थिर बिंदू म्हणजे केंद्र.
• केंद्रापासून वर्तुळावरील कोणत्याही बिंदूपर्यंतचा रेषाखंड म्हणजे त्रिज्या. एका वर्तुळाच्या सर्व त्रिज्या समान असतात.
• वर्तुळावरील कोणतेही दोन बिंदू जोडणारा रेषाखंड म्हणजे जीवा.
• केंद्रातून जाणारी जीवा म्हणजे व्यास; ती वर्तुळातील सर्वांत मोठी जीवा आहे.
• व्यास = २ × त्रिज्या. एका वर्तुळाचे सर्व व्यास समान असतात.
• वर्तुळाचा एक भाग म्हणजे कंस.
• वर्तुळाच्या आतील बिंदू अंतर्भागात, बाहेरील बिंदू बाह्यभागात, आणि वर्तुळावरील बिंदू वर्तुळावर असतात.
• कंपासमध्ये हवी तेवढी त्रिज्या घेऊन, टोक केंद्रावर स्थिर ठेवून पेन्सिल एकदा फिरवली की वर्तुळ काढता येते.

महत्त्वाच्या संज्ञा

• त्रिज्या – केंद्र ते वर्तुळावरील बिंदू अंतर.
• जीवा – वर्तुळावरील दोन बिंदू जोडणारा रेषाखंड.
• व्यास – केंद्रातून जाणारी जीवा.
• कंस – वर्तुळाचा भाग.

सूत्रे

• व्यास = २ × त्रिज्या
• त्रिज्या = व्यास ÷ २

५ महत्त्वाचे प्रश्न

Q1. वर्तुळाची त्रिज्या ४ सेमी असल्यास व्यास किती?

व्यास = २ × ४ = ८ सेमी.

Q2. व्यास १४ सेमी असल्यास त्रिज्या किती?

त्रिज्या = १४ ÷ २ = ७ सेमी.

Q3. जीवा व व्यास यांतील फरक काय?

जीवा वर्तुळावरील कोणतेही दोन बिंदू जोडते; व्यास ही केंद्रातून जाणारी जीवा असून ती सर्वांत मोठी जीवा असते.

Q4. ३ सेमी त्रिज्येचे वर्तुळ काढण्याच्या पायऱ्या लिहा.

कंपासमध्ये पट्टीच्या साहाय्याने ३ सेमी अंतर घ्या. कागदावर केंद्र O ठरवा. कंपासचे टोक O वर स्थिर ठेवून पेन्सिल एक फेरी फिरवा.

Q5. वर्तुळाला किती त्रिज्या काढता येतात?

असंख्य; आणि त्या सर्व समान लांबीच्या असतात.

परीक्षेसाठी टीप

त्रिज्या, जीवा, व्यास दाखवणारी नामनिर्देशित आकृती काढायचा सराव करा.

थोडक्यात सारांश

एका संख्येला दुसऱ्या संख्येने पूर्ण भाग जात असेल तर पहिली संख्या दुसरीची विभाज्य आणि दुसरी पहिलीचा विभाजक असते. या पाठात विभाज्य-विभाजक, विभाज्यतेच्या कसोट्या, मूळ व संयुक्त संख्या, सहमूळ संख्या आणि इरॅटॉस्थेनिसची चाळणी शिकतो.

महत्त्वाचे मुद्दे

• १२ ला ३ ने पूर्ण भाग जातो, म्हणून ३ हा १२ चा विभाजक आणि १२ ही ३ ची विभाज्य संख्या.
• प्रत्येक संख्या १ ची आणि स्वतःची विभाज्य असते.
• २ ने विभाज्य: एकक स्थानी ०, २, ४, ६ किंवा ८.
• ५ ने विभाज्य: एकक स्थानी ० किंवा ५. १० ने विभाज्य: एकक स्थानी ०.
• फक्त दोनच विभाजक (१ व ती संख्या) असलेली संख्या मूळ संख्या (२, ३, ५, ७, ११ …).
• दोनपेक्षा जास्त विभाजक असलेली संख्या संयुक्त संख्या (४, ६, ८, ९ …).
• १ ही ना मूळ ना संयुक्त संख्या. २ ही एकमेव सम मूळ संख्या.
• सामाईक विभाजक फक्त १ असलेल्या संख्या सहमूळ संख्या (८ व १५).
• इरॅटॉस्थेनिसची चाळणी: १ ते १०० संख्या लिहून १ खोडावा, मग २, ३, ५, ७ यांच्या विभाज्य संख्या (त्या संख्या सोडून) खोडाव्यात; उरलेल्या मूळ संख्या.

महत्त्वाच्या संज्ञा

• विभाजक – पूर्ण भाग जाणारी संख्या.
• विभाज्य – पूर्ण भाग जाणारी मोठी संख्या.
• मूळ संख्या – फक्त दोन विभाजक असलेली संख्या.
• संयुक्त संख्या – दोनपेक्षा जास्त विभाजक असलेली संख्या.

सूत्रे

• १ ते १०० मध्ये २५ मूळ संख्या: २, ३, ५, ७, ११, १३, १७, १९, २३, २९, ३१, ३७, ४१, ४३, ४७, ५३, ५९, ६१, ६७, ७१, ७३, ७९, ८३, ८९, ९७.

५ महत्त्वाचे प्रश्न

Q1. १८ चे सर्व विभाजक लिहा.

१, २, ३, ६, ९, १८.

Q2. ७ च्या पहिल्या पाच विभाज्य संख्या लिहा.

७, १४, २१, २८, ३५.

Q3. ३४५ ही संख्या ५ ने विभाज्य आहे का?

एकक स्थानी ५ आहे, म्हणून ३४५ ला ५ ने पूर्ण भाग जातो.

Q4. २१ ही मूळ संख्या आहे की संयुक्त?

२१ चे विभाजक १, ३, ७, २१ – दोनपेक्षा जास्त, म्हणून ती संयुक्त संख्या.

Q5. ८ व १५ सहमूळ आहेत का?

८ चे विभाजक १, २, ४, ८; १५ चे विभाजक १, ३, ५, १५. सामाईक फक्त १, म्हणून त्या सहमूळ आहेत.

परीक्षेसाठी टीप

‘१ ही मूळ संख्या नाही’ आणि ‘२ ही एकमेव सम मूळ संख्या’ – हे दोन मुद्दे हमखास विचारले जातात.

थोडक्यात सारांश

१/१० आणि १/१०० सारखे अपूर्णांक दशांश चिन्ह वापरून ०.१, ०.०१ असे लिहितात. या पाठात दशांश, शतांश स्थाने, अपूर्णांकाचे दशांश रूप, दशांश अपूर्णांकांची बेरीज-वजाबाकी आणि पैसे व मापनातील त्यांचा वापर शिकतो.

महत्त्वाचे मुद्दे

• १/१० = ०.१ (एक दशांश); १/१०० = ०.०१ (एक शतांश).
• बिंदूला दशांश चिन्ह म्हणतात. त्याच्या डावीकडे पूर्णांक भाग, उजवीकडे दशांश व शतांश स्थाने.
• ३.४७ = ३ एकक + ४ दशांश + ७ शतांश.
• १/२ = ०.५, १/४ = ०.२५, ३/४ = ०.७५, १ १/४ = १.२५.
• बेरीज-वजाबाकी करताना दशांश चिन्हे एकाखाली एक लिहावीत; रिकाम्या जागी ० लिहावा.
• पैसे (₹ १२.५०) आणि मापन (२.५ किग्रॅ, १.७५ मी) यांत दशांश अपूर्णांक वापरतात.
• १ रुपया = १०० पैसे, म्हणून ५० पैसे = ₹ ०.५०.
• १ मीटर = १०० सेमी, म्हणून ३५ सेमी = ०.३५ मीटर.

महत्त्वाच्या संज्ञा

• दशांश चिन्ह – पूर्णांक व अपूर्णांक भाग वेगळे करणारा बिंदू.
• दशांश – दहावा भाग (१/१०).
• शतांश – शंभरावा भाग (१/१००).

सूत्रे

५ महत्त्वाचे प्रश्न

Q1. ५.८३ मध्ये ८ व ३ यांची स्थाने सांगा.

८ दशांश स्थानी, ३ शतांश स्थानी.

Q2. ९/१०० दशांश रूपात लिहा.

९/१०० = ०.०९.

Q3. ₹ २५.७५ + ₹ १४.५० किती?

२५.७५ + १४.५० = ₹ ४०.२५.

Q4. ८.५ − ३.२५ सोडवा.

८.५० − ३.२५ = ५.२५.

Q5. ७५ पैसे रुपयांत लिहा.

७५ पैसे = ७५/१०० रुपये = ₹ ०.७५.

परीक्षेसाठी टीप

दशांश चिन्हे एका ओळीत ठेवा आणि रिकाम्या स्थानी ० लिहा.

थोडक्यात सारांश

वेळ मोजणे म्हणजे कालमापन. या पाठात तास, मिनिटे, सेकंद यांचा संबंध, मध्यान्हपूर्व व मध्यान्होत्तर वेळ, १२ तासी व २४ तासी कालमापन आणि वेळेची बेरीज-वजाबाकी शिकतो.

महत्त्वाचे मुद्दे

• १ मिनिट = ६० सेकंद; १ तास = ६० मिनिटे; १ दिवस = २४ तास.
• घड्याळातील बारीक, वेगाने फिरणारा काटा म्हणजे सेकंद काटा.
• रात्री १२ ते दुपारी १२ ही वेळ मध्यान्हपूर्व (a.m.).
• दुपारी १२ ते रात्री १२ ही वेळ मध्यान्होत्तर (p.m.).
• २४ तासी कालमापनात मध्यरात्रीपासून ० ते २४ तास मोजतात. रेल्वे, विमानसेवा, कार्यालये ही पद्धत वापरतात.
• दुपारनंतरची वेळ २४ तासी करताना १२ मिळवावेत: दुपारी ३:१५ = १५:१५.
• २४ तासी वेळ १२ पेक्षा जास्त असल्यास १२ वजा करून सायंकाळ/रात्र लिहावी: १९:४० = सायंकाळी ७:४०.
• मध्यरात्र = ००:०० तास; दुपारी १२ = १२:०० तास.
• वेळेची बेरीज करताना ६० मिनिटे झाल्यास १ तास पुढे न्यावा.

महत्त्वाच्या संज्ञा

• कालमापन – वेळ मोजणे.
• मध्यान्हपूर्व – दुपारी १२ पूर्वीची वेळ.
• मध्यान्होत्तर – दुपारी १२ नंतरची वेळ.
• २४ तासी घड्याळ – ० ते २४ तास मोजणारी पद्धत.

सूत्रे

• १ मिनिट = ६० सेकंद; १ तास = ६० मिनिटे = ३६०० सेकंद
• दुपारनंतरची वेळ → २४ तासी: १२ तास मिळवा

५ महत्त्वाचे प्रश्न

Q1. ३ तास म्हणजे किती मिनिटे?

३ × ६० = १८० मिनिटे.

Q2. रात्री ८:४५ ही वेळ २४ तासी पद्धतीने लिहा.

८:४५ + १२ = २०:४५.

Q3. १६:३० ही वेळ १२ तासी पद्धतीने लिहा.

१६ − १२ = ४. म्हणून दुपारी ४:३०.

Q4. २ तास ४० मिनिटे + ३ तास ३५ मिनिटे किती?

मिनिटे: ४० + ३५ = ७५ = १ तास १५ मिनिटे. तास: २ + ३ + १ = ६. उत्तर ६ तास १५ मिनिटे.

Q5. एक गाडी सकाळी ९:२० ला सुटून दुपारी १:५० ला पोहोचली. प्रवासाला किती वेळ लागला?

२४ तासी: १३:५० − ९:२० = ४ तास ३० मिनिटे.

परीक्षेसाठी टीप

वेळेची वजाबाकी करताना दोन्ही वेळा आधी २४ तासी पद्धतीत लिहा; उत्तर सोपे येते.

थोडक्यात सारांश

लांबी, वजन आणि धारकता मोजताना वेगवेगळी एकके वापरतो. या पाठात एककांचे रूपांतर आणि रोजच्या व्यवहारातील मापनावरील बेरीज, वजाबाकी, गुणाकार, भागाकाराची उदाहरणे सोडवायला शिकतो.

महत्त्वाचे मुद्दे

• लांबी: १ किलोमीटर = १००० मीटर; १ मीटर = १०० सेंटीमीटर; १ सेंटीमीटर = १० मिलिमीटर.
• वजन: १ किलोग्रॅम = १००० ग्रॅम; १ क्विंटल = १०० किलोग्रॅम.
• धारकता: १ लीटर = १००० मिलिलीटर.
• बेरीज-वजाबाकीपूर्वी सर्व मापे एकाच एककात आणावीत.
• मोठ्या एककाचे लहान एककात रूपांतर करताना गुणाकार, लहान एककाचे मोठ्या एककात रूपांतर करताना भागाकार करतात.
• सावलीची लांबी, पेनाची रिफिल मोजणे अशा कृतींतून लांबीचा अंदाज करायला शिकतो.

महत्त्वाच्या संज्ञा

• धारकता – भांड्यात मावणाऱ्या द्रवाचे प्रमाण.
• रूपांतर – एका एककातील माप दुसऱ्या एककात लिहिणे.
• क्विंटल – १०० किलोग्रॅम.

सूत्रे

५ महत्त्वाचे प्रश्न

Q1. ३ किलोमीटर २५० मीटर म्हणजे किती मीटर?

३ × १००० + २५० = ३२५० मीटर.

Q2. ४५०० ग्रॅम म्हणजे किती किलोग्रॅम?

४५०० ÷ १००० = ४.५ किलोग्रॅम (४ किग्रॅ ५०० ग्रॅ).

Q3. एका बाटलीत ७५० मिली पाणी मावते. अशा ४ बाटल्यांत किती लीटर पाणी?

७५० × ४ = ३००० मिली = ३ लीटर.

Q4. ५ मीटर कापडातून ३ मीटर ४० सेमी कापड वापरले. किती उरले?

५०० सेमी − ३४० सेमी = १६० सेमी = १ मीटर ६० सेमी.

Q5. २ क्विंटल धान्य ८ पोत्यांत सारखे भरले. प्रत्येक पोत्यात किती किलो?

२ क्विंटल = २०० किग्रॅ. २०० ÷ ८ = २५ किग्रॅ.

परीक्षेसाठी टीप

उत्तर लिहिताना एकक लिहायला विसरू नका; एकक नसलेले उत्तर अपूर्ण मानले जाते.

थोडक्यात सारांश

आकृतीच्या कडेची एकूण लांबी म्हणजे परिमिती आणि आकृतीने व्यापलेली जागा म्हणजे क्षेत्रफळ. या पाठात चौरस व आयत यांची परिमिती व क्षेत्रफळ एकक चौरस मोजून आणि सूत्राने काढायला शिकतो.

महत्त्वाचे मुद्दे

• परिमिती – आकृतीच्या सर्व बाजूंच्या लांबींची बेरीज; एकक सेमी, मीटर.
• क्षेत्रफळ – आकृतीने व्यापलेली जागा; एकक चौरस सेमी (चौसेमी), चौरस मीटर (चौमी).
• आयताला दोन लांबी व दोन रुंदी असतात; संमुख बाजू समान.
• चौरसाच्या चारही बाजू समान असतात.
• क्षेत्रफळ एकक चौरस मोजून किंवा सूत्र वापरून काढता येते.
• सूत्र वापरण्यापूर्वी लांबी व रुंदी एकाच एककात असावीत.

महत्त्वाच्या संज्ञा

• परिमिती – आकृतीभोवतीची एकूण लांबी.
• क्षेत्रफळ – आकृतीने व्यापलेली जागा.
• चौरस सेंटीमीटर – १ सेमी बाजूच्या चौरसाचे क्षेत्रफळ.

सूत्रे

• आयताची परिमिती = २ × (लांबी + रुंदी)
• चौरसाची परिमिती = ४ × बाजू
• आयताचे क्षेत्रफळ = लांबी × रुंदी
• चौरसाचे क्षेत्रफळ = बाजू × बाजू

५ महत्त्वाचे प्रश्न

Q1. ७ सेमी बाजूच्या चौरसाची परिमिती काढा.

४ × ७ = २८ सेमी.

Q2. लांबी १२ मी व रुंदी ५ मी असलेल्या आयताचे क्षेत्रफळ काढा.

१२ × ५ = ६० चौमी.

Q3. एका आयताकृती शेताची लांबी ४० मी व रुंदी २५ मी आहे. कुंपणासाठी किती तार लागेल (एक फेरा)?

परिमिती = २ × (४० + २५) = २ × ६५ = १३० मीटर.

Q4. ६ मी बाजूच्या चौरसाकृती खोलीत १ चौमीच्या किती फरशा लागतील?

क्षेत्रफळ = ६ × ६ = ३६ चौमी. म्हणून ३६ फरशा.

Q5. आयताची परिमिती ३० सेमी व लांबी ९ सेमी आहे. रुंदी काढा.

लांबी + रुंदी = ३० ÷ २ = १५. रुंदी = १५ − ९ = ६ सेमी.

परीक्षेसाठी टीप

परिमितीचे उत्तर सेमी/मी मध्ये आणि क्षेत्रफळाचे उत्तर चौसेमी/चौमी मध्ये लिहा.

थोडक्यात सारांश

चौरस, त्रिकोण यांसारख्या सपाट आकृत्यांना फक्त लांबी व रुंदी असते, तर डबा, चेंडू, वीट यांसारख्या वस्तूंना लांबी, रुंदी आणि उंची असते; त्या त्रिमितीय वस्तू. या पाठात त्रिमितीय वस्तूंची पृष्ठे, कडा, शिरोबिंदू आणि वस्तूची घडणी (नेट) शिकतो.

महत्त्वाचे मुद्दे

• फक्त लांबी व रुंदी असलेल्या आकृती द्विमितीय.
• लांबी, रुंदी व उंची असलेल्या वस्तू त्रिमितीय: घन, इष्टिकाचिती, वृत्तचिती, शंकू, गोल.
• त्रिमितीय वस्तू कागदावर काढताना न दिसणाऱ्या कडा तुटक रेषांनी दाखवतात.
• घन: ६ चौरसाकृती पृष्ठे, १२ कडा, ८ शिरोबिंदू.
• इष्टिकाचिती: ६ आयताकृती पृष्ठे, १२ कडा, ८ शिरोबिंदू.
• घडी घालून त्रिमितीय वस्तू बनवता येईल अशी सपाट आकृती म्हणजे घडणी.
• घनाच्या घडणीत ६ समान चौरस बाजूला बाजू जोडलेले असतात.
• पाच चौरस बाजूला बाजू जोडून बनलेल्या आकृतीला पेंटोमिनो म्हणतात; काही पेंटोमिनोंपासून झाकण नसलेली पेटी तयार होते.

महत्त्वाच्या संज्ञा

• त्रिमितीय वस्तू – लांबी, रुंदी, उंची असलेली वस्तू.
• घडणी – दुमडून वस्तू बनवता येईल अशी सपाट आकृती.
• कडा – दोन पृष्ठे मिळतात तो रेषाखंड.
• शिरोबिंदू – कडा मिळतात तो कोपरा.

सूत्रे

५ महत्त्वाचे प्रश्न

Q1. घनाला किती पृष्ठे, कडा व शिरोबिंदू असतात?

६ पृष्ठे, १२ कडा, ८ शिरोबिंदू.

Q2. घन व इष्टिकाचिती यांत फरक काय?

घनाची सर्व पृष्ठे समान चौरस असतात; इष्टिकाचितीची पृष्ठे आयताकृती असतात.

Q3. घडणी म्हणजे काय?

घडी घालून जी त्रिमितीय वस्तू बनवता येते अशी सपाट आकृती म्हणजे त्या वस्तूची घडणी.

Q4. घराजवळील तीन त्रिमितीय वस्तूंची नावे व आकार सांगा.

खडूचा खोका – इष्टिकाचिती; फासा – घन; चेंडू – गोल.

Q5. पेंटोमिनो म्हणजे काय?

पाच समान चौरस बाजूला बाजू जोडून बनलेली आकृती.

परीक्षेसाठी टीप

घनाची घडणी कागदावर काढून, कापून, घडी घालून प्रत्यक्ष तपासा – लक्षात चांगले राहते.

थोडक्यात सारांश

संख्येच्या रूपातील माहिती चित्रांच्या साहाय्याने मांडली की ती पटकन समजते; अशा मांडणीला चित्रालेख म्हणतात. या पाठात चित्रालेख वाचणे आणि काढणे शिकतो.

महत्त्वाचे मुद्दे

• संख्येच्या रूपातील माहितीला सामग्री (माहिती) म्हणतात.
• चित्रालेखात एक चित्र किंवा चिन्ह ठरावीक वस्तूंची संख्या दाखवते.
• प्रमाण सांगते की एक चित्र किती दाखवते, उदा. १ चित्र = १० झाडे.
• अर्धे चित्र त्या संख्येच्या अर्ध्याएवढी किंमत दाखवते.
• वाचताना चित्रे मोजून त्यांना प्रमाणाने गुणावे.
• काढताना आधी प्रमाण ठरवावे, मग प्रत्येक संख्येला प्रमाणाने भागून किती चित्रे काढायची ते ठरवावे.
• चित्रालेखामुळे तुलना एका दृष्टिक्षेपात होते.

महत्त्वाच्या संज्ञा

• चित्रालेख – चित्रांनी माहिती दाखवण्याची पद्धत.
• प्रमाण – एका चित्राने दाखवलेली संख्या.

सूत्रे

• दाखवलेली संख्या = चित्रांची संख्या × एका चित्राची किंमत
• काढायची चित्रे = संख्या ÷ एका चित्राची किंमत

५ महत्त्वाचे प्रश्न

Q1. १ चित्र = ५ विद्यार्थी असल्यास ७ चित्रे किती विद्यार्थी दाखवतात?

७ × ५ = ३५ विद्यार्थी.

Q2. १ चित्र = १० झाडे असल्यास ४५ झाडांसाठी किती चित्रे काढाल?

४५ ÷ १० = ४.५, म्हणजे ४ पूर्ण चित्रे व एक अर्धे चित्र.

Q3. चित्रालेखात अर्धे चित्र काय दाखवते?

एका चित्राच्या किमतीच्या अर्धी संख्या.

Q4. चित्रालेखाचे दोन फायदे लिहा.

माहिती एका दृष्टिक्षेपात समजते; तुलना सहज करता येते.

Q5. एका चित्रालेखात सोमवारी ६ व मंगळवारी ४ चित्रे आहेत (१ चित्र = २० वह्या). दोन्ही दिवसांतील विक्रीत फरक किती?

(६ − ४) × २० = ४० वह्या.

परीक्षेसाठी टीप

चित्रालेख वाचताना आधी ‘प्रमाण’ (१ चित्र = किती) शोधा; उत्तर त्यावरूनच येते.

थोडक्यात सारांश

ठरावीक नियमाने पुन्हा पुन्हा होणारी मांडणी म्हणजे आकृतिबंध. या पाठात फरशी बसवण्याचे आकृतिबंध, किनारपट्ट्यांवरील नक्षी आणि संख्यांचे आकृतिबंध ओळखून ते पुढे वाढवायला शिकतो.

महत्त्वाचे मुद्दे

• नियमाप्रमाणे पुनरावृत्ती होणारी मांडणी म्हणजे आकृतिबंध.
• फरशा मोकळी जागा न ठेवता एकमेकांना जुळतात. चौरस, आयत, समभुज त्रिकोण आणि सुसम षट्कोन यांनी जमीन पूर्ण झाकता येते.
• एखादा आकार पुन्हा पुन्हा काढून, फिरवून किंवा उलटा करून आकृतिबंध तयार होतो.
• साड्या, शाली यांच्या किनारींवर पुनरावृत्ती होणारे आकृतिबंध दिसतात.
• संख्यांचे आकृतिबंध नियमाने चालतात, उदा. प्रत्येक वेळी तीच संख्या मिळवणे किंवा गुणणे.
• आकृतिबंध पुढे वाढवण्यासाठी आधी त्याचा नियम शोधावा.

महत्त्वाच्या संज्ञा

• आकृतिबंध – नियमाने होणारी मांडणी.
• नियम – पुढची संख्या/आकृती ठरवण्याची पद्धत.
• सुसम षट्कोन – सहाही बाजू समान असलेला षट्कोन.

सूत्रे

• ३, ६, ९, १२ … (प्रत्येक वेळी ३ मिळवा)
• २, ४, ८, १६ … (प्रत्येक वेळी २ ने गुणा)

५ महत्त्वाचे प्रश्न

Q1. पुढील दोन संख्या लिहा: ५, १०, १५, २०, …

नियम: ५ मिळवा. पुढे २५, ३०.

Q2. पुढील दोन संख्या लिहा: ३, ६, १२, २४, …

नियम: २ ने गुणा. पुढे ४८, ९६.

Q3. पुढील दोन संख्या लिहा: १, ४, ९, १६, …

या १×१, २×२, ३×३, ४×४ आहेत. पुढे २५ (५×५), ३६ (६×६).

Q4. कोणत्या आकारांच्या फरशांनी जमीन मोकळी जागा न ठेवता झाकता येते?

चौरस, आयत, समभुज त्रिकोण आणि सुसम षट्कोन.

Q5. आकृतिबंधाची दोन उदाहरणे रोजच्या जीवनातून द्या.

साडीच्या किनारीवरील नक्षी; रांगोळीतील पुनरावृत्ती होणारी नक्षी.

परीक्षेसाठी टीप

संख्यांचा आकृतिबंध ओळखताना लगतच्या संख्यांतील फरक किंवा गुणोत्तर तपासा.

थोडक्यात सारांश

बीजगणितात संख्यांऐवजी अक्षरे वापरतात. या पाठात समानता (=), असमानता (≠, <, >), कंसाचा उपयोग आणि सर्व संख्यांना लागू होणारे नियम अक्षरांच्या साहाय्याने लिहायला शिकतो.

महत्त्वाचे मुद्दे

• दोन राशींची किंमत समान असेल तर = चिन्ह वापरतात: (९ − ५) = (२ × २).
• किंमत समान नसेल तर ≠ चिन्ह: (९ − ५) ≠ (१५ ÷ ३).
• < म्हणजे ‘पेक्षा लहान’, > म्हणजे ‘पेक्षा मोठा’: ८ < १२, २० > ७.
• कोणती क्रिया आधी करायची ते कंस दाखवतो.
• a, b, x सारखी अक्षरे कोणतीही संख्या दाखवू शकतात.
• a व b यांची बेरीज a + b; क्रम बदलला तरी बेरीज तीच: a + b = b + a.
• a × १ = a; a × ० = ०; a + ० = a.
• अक्षरांमुळे सर्व संख्यांसाठी खरे असणारे नियम थोडक्यात लिहिता येतात.

महत्त्वाच्या संज्ञा

• समानता – दोन बाजूंची किंमत सारखी असणे.
• असमानता – किंमत सारखी नसणे (≠, <, >).
• कंस – आधी करायची क्रिया दाखवणारे चिन्ह.

सूत्रे

• a + b = b + a; a × b = b × a
• a × १ = a; a + ० = a; a × ० = ०

५ महत्त्वाचे प्रश्न

Q1. योग्य चिन्ह (=, ≠) लिहा: (६ × ३) … (२० − २)

६ × ३ = १८ आणि २० − २ = १८. म्हणून (६ × ३) = (२० − २).

Q2. योग्य चिन्ह (<, >) लिहा: (२४ ÷ ४) … (३ + ४)

२४ ÷ ४ = ६, ३ + ४ = ७. म्हणून (२४ ÷ ४) < (३ + ४).

Q3. (१५ − ५) × २ आणि १५ − (५ × २) यांच्या किमती काढा.

(१५ − ५) × २ = १० × २ = २०; १५ − (५ × २) = १५ − १० = ५. कंसामुळे उत्तर बदलते.

Q4. a = ७ असल्यास a × १ आणि a + ० किती?

दोन्ही ७.

Q5. ‘एखाद्या संख्येला ० ने गुणल्यास उत्तर ० येते’ हा नियम अक्षर वापरून लिहा.

a × ० = ०.

परीक्षेसाठी टीप

कंस असलेल्या उदाहरणात नेहमी आधी कंसातील क्रिया करा.