बी.एससी. तृतीय वर्ष (सत्र ५ व ६) गणित – रोजची उजळणी MCQ (मराठी माध्यम)

📅 २६ ऑक्टोबर २०२६ · १० प्रश्न · महाराष्ट्रातील विद्यापीठांच्या अभ्यासक्रमावर आधारित

टायमर क्विझ: प्रत्येक प्रश्नाला १५ सेकंद, वेळ संपली की पुढचा प्रश्न आपोआप. किंवा टायमरशिवाय: पर्याय टॅप करा, बरोबर उत्तर हिरवे, चुकीचे लाल. नवीन संच नियमितपणे जोडले जातात.

1. सर्व 2 × 2 वास्तव आव्यूहांच्या (matrices) वास्तव सदिश अवकाशाची (vector space) मिती (dimension) किती?

   धडा १: Vector Spaces

   • अ2
   • ब4
   • क8
   • ड1
   उत्तर दाखवा

   उत्तर: ब. 4
   एका स्थानी 1 आणि बाकी सर्व 0 असलेले चार आव्यूह आधार (basis) बनवतात, म्हणून मिती 2 × 2 = 4.

2. एका रेषीय रूपांतरणाची (linear transformation) T: ℝ⁵ → ℝ³ कोटी (rank) 3 आहे. T ची शून्यता (nullity) किती?

   धडा २: Linear Transformations

   • अ3
   • ब5
   • क0
   • ड2
   उत्तर दाखवा

   उत्तर: ड. 2
   कोटी-शून्यता प्रमेय (rank–nullity theorem): कोटी + शून्यता = प्रांताची (domain) मिती, म्हणून शून्यता = 5 − 3 = 2.

3. f(z) = u + iv विश्लेषक (analytic) असल्यास u आणि v ने कोणती कोशी-रीमान समीकरणे (Cauchy–Riemann equations) पूर्ण केली पाहिजेत?

   धडा ४: Analytic Functions

   • अu_x = v_y आणि u_y = −v_x
   • बu_x = −v_y आणि u_y = v_x
   • कu_x = u_y आणि v_x = v_y
   • डu_x = v_x आणि u_y = v_y
   उत्तर दाखवा

   उत्तर: अ. u_x = v_y आणि u_y = −v_x
   विश्लेषक फलासाठी कोशी-रीमान समीकरणे ∂u/∂x = ∂v/∂y आणि ∂u/∂y = −∂v/∂x अशी असतात.

4. वर्तुळ |z| = 1 भोवती एकदा घड्याळाच्या उलट दिशेने घेतलेल्या ∮ dz/z या संकलाचे (integral) मूल्य किती?

   धडा ६: Complex Integration

   • अ0
   • बπi
   • क2πi
   • ड2π
   उत्तर दाखवा

   उत्तर: क. 2πi
   z = e^{iθ} घेतल्यास dz/z = i dθ आणि θ, 0 ते 2π बदलतो, म्हणून संकल 2πi (ध्रुव z = 0 वर्तुळाच्या आत आहे).

5. खालीलपैकी कोणता संच अगणनीय (uncountable) आहे?

   धडा ८: Countable Sets and Topology of the Real Line

   • अपूर्णांकांचा संच
   • ब(0, 1) मधील वास्तव संख्यांचा संच
   • कपरिमेय संख्यांचा संच
   • डनैसर्गिक संख्यांचा संच
   उत्तर दाखवा

   उत्तर: ब. (0, 1) मधील वास्तव संख्यांचा संच
   ℕ, ℤ आणि ℚ एकेक करून मोजता येतात (गणनीय), पण कॅन्टरच्या कर्ण युक्तिवादाने (diagonal argument) (0, 1) मधील वास्तव संख्या तशा मोजता येत नाहीत हे सिद्ध होते.

6. विविक्त दूरीक अवकाशात (discrete metric space) (x ≠ y असल्यास d(x, y) = 1 आणि x = y असल्यास 0) विवृत चेंडू (open ball) B(x, 1/2) म्हणजे:

   धडा ९: Metric Spaces

   • अ{x}
   • बसंपूर्ण अवकाश
   • करिक्त संच
   • डx सोडून सर्व बिंदू
   उत्तर दाखवा

   उत्तर: अ. {x}
   x पासून 1/2 पेक्षा कमी अंतरावरील बिंदूच चेंडूत येतात, आणि असा एकमेव बिंदू म्हणजे स्वतः x (अंतर 0).

7. बूलीय बीजगणितात (Boolean algebra) a + a·b या पदावलीचे सरळ रूप काय?

   धडा १३: Lattices and Boolean Algebra

   • अb
   • बa·b
   • क1
   • डa
   उत्तर दाखवा

   उत्तर: ड. a
   शोषण नियम (absorption law): a + a·b = a(1 + b) = a·1 = a.

8. एका आलेखात (graph) 7 कडा (edges) आहेत. त्याच्या सर्व शिरोबिंदूंच्या (vertices) कोटींची (degrees) बेरीज किती?

   धडा १४: Graph Theory

   • अ7
   • ब21
   • क14
   • ड49
   उत्तर दाखवा

   उत्तर: क. 14
   हस्तांदोलन प्रमेय (handshaking lemma): प्रत्येक कडा तिच्या दोन्ही टोकांच्या कोटीत 1 ने भर घालते, म्हणून कोटींची बेरीज = 2 × 7 = 14.

9. n = 10 आणि p = 0.4 असलेल्या द्विपदी वितरणाचे (binomial distribution) प्रचरण (variance) किती?

   धडा १९: Probability Distributions

   • अ2.4
   • ब4
   • क6
   • ड0.24
   उत्तर दाखवा

   उत्तर: अ. 2.4
   प्रचरण = npq = 10 × 0.4 × 0.6 = 2.4 (4 हा मध्य np आहे).

10. समाश्रयण गुणांक (regression coefficients) b_yx = 0.8 आणि b_xy = 0.45 असल्यास सहसंबंध गुणांक (correlation coefficient) r किती?

    धडा २०: Correlation and Regression

    • अ0.36
    • ब1.25
    • क−0.6
    • ड0.6
    उत्तर दाखवा

    उत्तर: ड. 0.6
    r = √(b_yx × b_xy) = √0.36 = 0.6; दोन्ही समाश्रयण गुणांक धन असल्याने r धन आहे.

बी.एससी. तृतीय वर्ष (सत्र ५ व ६): इतर विषयांचे MCQ

सर्व प्रश्न PadhaiNotes ने महाराष्ट्रातील विद्यापीठांच्या (NEP) सर्वसाधारण अभ्यासक्रमावरून स्वतःच्या शब्दांत तयार केले आहेत. तुमच्या विद्यापीठाचा अभ्यासक्रम थोडा वेगळा असू शकतो.